評価中 $\int_{-1}^{1}x^2\mathrm d(\ln x)$
積分を評価することになっています $\int_{-1}^{1}x^2\mathrm d(\ln x)$。私は伝統的に微分を単純化することによってそれを解決しました$1/x . \mathrm dx$。これは答えを与えます$0$。しかし、解決策に従って、次の答えが正しいとされています。
$$\int_{-1}^{1}x^2\mathrm d(\ln x)=\int_{1/e}^{e}x^2 \frac{1}{x}\mathrm dx=\frac{1}{2}\left(e^2-e^{-2}\right)$$
なぜ解決策がこれでなければならないのかわかりません。対数に加えて、統合の限界は次のとおりです。$-1$ に $1$、問題があるようです。誰かがどちらが正しいか確認できますか？ありがとう。
回答
@VIVIDは正しいです。積分表記は、次のような合計と比較すると、誤解を招くほど簡潔になる場合があります。$\sum_{i=A}^{i=B}h(i)$。同等のものを置く必要があります$i=$ここで限界に。私たちが書くとき$\int_a^bf(x)dg(x)$、慣習はそれが意味することです $\int_{g(x)=a}^{g(x)=b}f(x)dg(x)$、厳密に増加するため $g$ になります $\int_{x=g^{-1}(a)}^{x=g^{-1}(b)}f(x)g^\prime(x)dx=\int_{g^{-1}(a)}^{g^{-1}(b)}f(x)g^\prime(x)dx$。
ほとんどの場合、あなたは事件に遭遇するだけです $g(x)=x$。公平を期すために、一部の情報源は制限を意図しています$a,\,b$ にとって $x$ の代わりに $g(x)$。ただし、ここでは機能しません。$\ln x$ の実数では定義されていません $x\le0$。
注：この問題では、$\ln x \in [-1,1]$ これは $x \in [1/e,~e]$（ではなく $x \in [-1,1]$）。
置換する $(t = \ln x)$ 何が起こっているかを確認するには： $$\int_{-1}^{1}x^2\mathrm d(\ln x)=\int_{-1}^{1}x^2 \mathrm dt\overset{t~\to~ x}=\int_{1/e}^{e}x^2 \frac{1}{x}\mathrm dx=\frac{x^2}{2}\bigg|_{1/e}^e=\frac{e^2}{2}-\frac{1}{2e^2}$$
我々は持っています： $$I=\int_{-1}^1x^2d(\ln x)$$ これは次のように書くことができます。 $$d(\ln x)=\frac{d(\ln x)}{dx}dx=\frac1xdx$$ ただし、次のことも考慮する必要があります。 $$(\ln x)\in[-1,1]\Rightarrow x\in[e^{-1},e]$$
この問題についての別の考え方は、置換、または私が素晴らしい視覚化を見つけたものを使用することです： $$x=e^{\ln x}\Rightarrow x^2=\left(e^{\ln x}\right)^2$$ だから私たちは持っています： $$I=\int_{-1}^1\left(e^{\ln x}\right)^2d(\ln x)=\left[\frac{e^{2\ln x}}{2}\right]_{\ln(x)=-1}^1$$
また、でグラフをプロットしてみてください $\ln x$ X軸上および $x^2$ y軸上で、これがどのような形を形成するかを確認し、これが役立つことを願っています:)
私はすべての答えに同意せず、OPの見解に同意します。
独立変数は次のようになります。 $x$ そして、積分は明示的に次のように書かれるべきでした/できたはずです
$$\int_{x=-1}^{x=1} x^2 d \ln x = \int_{x=-1}^{x=1} x\, dx =0.$$
結局のところ、私はこの表記が部分積分の省略形として使用され、制限が独立変数（$x$）であり、変数の関数ではありません。
事実 $\ln x$ に対して定義されていません $x=-1$積分が複素平面の線積分である可能性を排除するものではありません。おそらく主値。次に、他の懸念事項（克服できないものではありません）、分岐点、分岐点があります...