評価する $\int \frac{\sin^{3/2}(a)+\cos^{3/2}(a)}{\sqrt{\sin^3(a)\cos^3(a)\sin(a+b)}}\,da$
評価する $$ \int \frac{\sin^{3/2}(a)+\cos^{3/2}(a)}{\sqrt{\sin^3(a)\cos^3(a)\sin(a+b)}}\,da $$
私の試み:元の積分を再配置する $$ \int \frac{{1+\tan^{3/2}}(a)}{\sqrt{\sin^3(a)\sin(a+b)}}\,da = \int \frac{{(1+\tan^{3/2}}(a))\sec^2(a)}{\sqrt{\tan^4(a)\cos(b)+\tan^3(a)\sin(b)}}\,da $$ しましょう $t=\tan a$ その後、 $$ \int \frac{{1+t^{3/2}}}{\sqrt{t^4\cos b+t^3\sin b}}\,dt $$
今私は立ち往生しています。誰かが私にさらに進むためのヒントやもっと簡単な方法を教えてもらえますか
回答
ヒント:
$\int \frac{\sin^{3/2}(a)+\cos^{3/2}(a)}{\sqrt{\sin^3(a)\cos^3(a)\sin(a+b)}}\,da$ = $\int \frac{1}{\sqrt{\sin^3(a)\sin(a+b)}}\,da + \int \frac{1}{\sqrt{\cos^3(a)\sin(a+b)}}\,da$
今すぐ最初の部分を取ります。
$\sqrt{\sin^3(a)\sin(a+b)} = \sqrt{\sin^4(a)(\cos b + \cot a \sin b)}$
いう、 $t = \cos b + \cot a \sin b$
$dt = - \dfrac {1}{\sin^2(a)} \sin b \,da$
だから、最初の積分 $\int \frac{1}{\sqrt{\sin^3(a)\sin(a+b)}}\,da = -\dfrac{1}{\sin b} \int \frac{1}{\sqrt t} \,dt$
2番目の部分も同様に行うことができます。ここから持っていってもらえますか?