評価する $\int_{-\pi}^{\pi} \frac{\sin\left(e^{ix}\right)}{e^{ix}} dx$

Question

次の積分を明示的に評価しようとしています $$ \int_{-\pi}^{\pi} \frac{\sin\left(e^{ix}\right)}{e^{ix}} dx $$

WolframAlphaで積分の値が $2 \pi$。これを使って、次のことを試みました。

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積分の共役を分析すると、 $$ \overline{\int_{-\pi}^{\pi} \frac{\sin\left(e^{ix}\right)}{e^{ix}} dx} = \int_{-\pi}^{\pi} \frac{\overline{\sin\left(e^{ix}\right)}}{\overline{e^{ix}}} dx = \int_{-\pi}^{\pi} \frac{\sin\left(e^{-ix}\right)}{e^{-ix}} dx \overset{\color{blue}{u = -x}}{=}\int_{-\pi}^{\pi} \frac{\sin\left(e^{iu}\right)}{e^{iu}} du $$これは、積分が実数であることを確認します。ここから、次のことを見つけることで積分を単純化できます$\Re\left(\frac{\sin\left(e^{ix}\right)}{e^{ix}} \right)$。

混乱を避けるために、ここで定義しました $c(t) := \cos(t)$ そして $s(t):= \sin(t)$。これを念頭に置いて、私はそれを理解します\begin{align} \Re\left(\sin\left(e^{ix}\right)e^{-ix} \right) &= \Re\left(\sin(c + is) (c -is) \right) = \Re\left(\frac{e^{-s}e^{ic}-e^{s}e^{ic}}{2i} (c -is) \right)\\ &=\Re\left(\frac{1}{2}\left(e^{-s}\left[\underbrace{\color{blue}{c\{c\}}}_{\cos(\cos(t)} + i\underbrace{\color{blue}{s\{c\}}}_{\sin(\cos(t)}\right]- e^{s}\left[c\{c\} -i s\{c\}\right] \right) (-s -ic) \right)\\ &=\frac{1}{2} \left(-e^{-s}c\{c\}s + e^{s}c\{c\}s +e^{-s}s\{c\}c +e^s s\{c\}c \right)\\ &=s \cos(c) \left(\frac{e^s -e^{-s}}{2}\right) + c \sin(c) \left(\frac{e^s +e^{-s}}{2}\right)\\ &=\sin(t) \cos(\cos(t))\sinh(\sin(t)) + \cos(t) \sin(\cos(t))\cosh(\sin(t)) \end{align}そして、ここで問題が発生しました。最後の式をどのように統合できるかわからないためです。対称性を利用してみましたが、機能は均一なので、不定積分（非常に不快に聞こえます）を見つけずにそれを使って多くのことを行うことはできないと思います。

私が解決策を完成させる方法を誰かが知っていますか？あるいは、私がこの結果を証明できるもっと簡単な方法を誰かが知っていますか？どうもありがとうございました！

Answer 1

しましょう $z=e^{ix}$。すると積分は

$$\oint_{|z|=1} \frac{\sin(z)}{iz^2}\,dz$$

終わりますか？

Answer 2

コーシーの積分公式を使用できるはずです。あなたの積分は次のように書き直すことができます$$\int_0^{2\pi}f(e^{ix})\,dx,$$ どこ $f(x)=\sin(x)/x$。今代用$u=e^{ix}$、 $du/u=idx$ あなたの積分が $$\frac{1}{i}\int_\gamma \frac{f(u)}{u}\,du.$$ ここに、 $\gamma$複素平面の原点を中心とする単位円を示します。コーシーは、この積分は$2\pi f(0)$、またはあなたの場合、 $$2\pi.$$ 編集：実際には、 $f$ 単位円板上で正則です、私たちはそれを持っています $$\int_0^{2\pi} f(e^{i\theta})\,d\theta=2\pi f(0).$$

Answer 3

の周回積分を考えてみましょう $\frac{\sin(z)}{z^2}$ 円の上 $\gamma$。間隔全体で円をパラメータ化する$[-\pi, \pi]$ 私たちに $i \int \frac{\sin{e^{ix}}}{e^{iz}} dx$。

のテイラー展開を取ることができます $\sin(z)$ 周回積分が等しいことを取得するには $\int_\gamma \sum\limits_{i = 0}^\infty \frac{z^{2i - 1}}{(2i + 1)!} dz$。合計は円全体で一様に収束するため、合計と積分を入れ替えて$\sum\limits_{i = 0}^\infty \int_\gamma \frac{z^{2i -1}}{(2i - 1)!}$。しかし、$i > 0$、これは閉じたパス上の単項式の積分であるため、重要な用語は $i = 0$ 期間。

したがって、積分は $\int_\gamma \frac{1}{z} dz = 2 \pi i$。

そして、あなたの元の積分は、実際には、 $2 \pi$。