射がゼロのカテゴリは、オブジェクトがゼロであることを意味しますか？
しましょう $\mathscr{A}$カテゴリになります。それから私達はそれを言う$\mathscr{A}$ すべての場合、射がゼロのカテゴリです $A,A'\in\mathscr{A}$ ゼロ射があります $0_{AA'}\in\mathscr{A}(A,A')$、および零射は特定の可換図式に従います（wikiを参照）。今、仮定します$\mathscr{A}$ ゼロオブジェクトがあります $0$。その後、$\mathscr{A}$はゼロ射のカテゴリであり、すべてのゼロ射はゼロオブジェクトを一意に通過します。では、その逆はどうですか？場合$\mathscr{A}$射がゼロのカテゴリですが、オブジェクトは必ずゼロですか？そうでない場合、簡単な反例はありますか？
回答
いいえ、射がゼロのカテゴリは、オブジェクトがゼロである必要はありません。簡単な反例は、ゼロ以外のリングを検討することです$R$ 1つのオブジェクトのカテゴリと見なされます（1つのオブジェクトでも $\text{Ab}$-濃縮/前加法圏）、またはより一般的にはゼロ要素/吸収要素と少なくとも1つの他の非ゼロ要素を持つモノイド（ただし、これらの一般的でよく知られた例として非ゼロリングは素晴らしいです）。
本当のことは、射がゼロのカテゴリが与えられた場合、それがまだ持っていない場合、それに隣接するゼロオブジェクトにユニークな方法があるということです：それは他のすべてのオブジェクトとの間でユニークな射を持ち、これらの射を含むすべての構成を持っていますはゼロです。この構成は、（オブジェクトがゼロのカテゴリ）を（射がゼロのカテゴリ）に含めることの左側の随伴です。どちらの場合も、射は、射がゼロを保持する関手です。
また、ゼロモーフィズムを持つカテゴリに初期オブジェクトまたは終了オブジェクトがある場合、そのオブジェクトは自動的にゼロオブジェクトになり、ゼロモーフィズムを保持する2つのゼロオブジェクトを持つカテゴリ間のファンクタは自動的にゼロオブジェクトを保持します。このブログ投稿でもう少し詳しく説明します。