一元体のフィールドがないのはなぜですか?[複製]

Dec 06 2020

これはここで質問されましたが、回答済みとしてマークされており、質問に回答されたことがないか、少なくとも私にはわかりませんでした。

なぜ要素だけで構成されているのかわかりません $\{0\}$ いつもと一緒に $+$ そして $×$ 基準を満たしていないため $0$ 加法的および乗法的単位元の両方として機能します。

つまり、 $G = \{0\}$、その後

  • $∀ g ∈ G, 0+g = g$ そして

  • $∀ g ∈ G, 0·g = g$ (以来 $0·0 = 0$

同様に、それはそれ自身の加法と乗法の逆数の両方です。圏論や代数/数論幾何学のいくつかの追加の特性を満たすことを望まずに、フィールドレベルでのみ問題は何ですか?

回答

2 EeveeTrainer Dec 06 2020 at 09:12

それでは、確認しましょう: $(F,+,\cdot,0,1)$ 次の場合はフィールドです

  • $(F,+,0)$ アーベル群です
  • $(F \setminus \{0\}, \cdot, 1)$ アーベル群です

どうなるか $0 = 1$ そして $F$その要素を含むシングルトンですか?その場合、後者の特性は満たされません。$F \setminus \{ 0 \} = \varnothing$それでも、すべてのグループは仮定によって空ではありません。(つまり、グループの公理は、その中に要素、つまり単位元が存在することを意味するため、グループは常に空ではありません。)

6 Marktmeister Dec 06 2020 at 09:10

しましょう $K := \{0\}$。次に$K \setminus \{0\}$ 単位元が含まれていないため、乗法群にすることはできません。