伊藤の補題2次項表記。
ここに表記の質問があります。
伊藤の補題の最も単純な形では、これがあります
$ df(Y_t) = f'(Y_t) dY_t + \frac{1}{2} f''(Y_t) d\langle Y \rangle_t$
私は計算する方法を知っています $ d\langle Y \rangle_t $ 用語ですが、私はいつも聞きたいです
- 用語の名前は何ですか、そしてそれは正確にはどういう意味ですか？
- なぜそれはそのような特別な方法で書かれているのに使用されていないのですか $ Cov() $、または $ Var() $？
概念的にはそれがプロセスの違いですが、表記法がわかりません。なぜ下付き文字$ t $ 外に置かれています $ \langle \cdot \rangle $。
以下のように書くことはできますか？
$ \langle dY_t \rangle $
$ d \langle Y_t \rangle $
2つのプロセスが関係している場合、パターンに従って、次のように記述する必要があると思います。 $ d\langle X, Y \rangle_t $、でも以下のように書けますか？
$ \langle dX_t, dY_t \rangle $
$ d\langle X_t, Y_t \rangle $
また、それを積分形式で書くことはできますか？どこに置くべきですか$ t $ 私がそれを積分形式で書いているのなら？
どうもありがとう
回答
ロングハンド/ショートハンド表記：
私は個人的に常に速記法が混乱していることに気づき、今日まで可能な限りそれを避けようとしています。以下では、なぜそれが混乱し、よくある間違いにつながるのかを説明しようと思います。
「ロングハンド」表記では、伊藤のプロセス $X_t$ は次のように定義されます。
$$X_t:=X_0+\int_{h=0}^{h=t}a(X_h,h) dh + \int_{h=0}^{h=t}b(X_h,h) dW_h $$
上記、 $a(X_t,t)$ そして $b(X_t,t)$ いくつかの自乗可積分プロセスです。
の二次変動は注目に値します$X_t$ その場合、次のようになります。
$$\left<X\right>_t=\int_{h=0}^{h=t}b(X_h,h)^2dh $$
（これは、確率過程の2次変動の定義に従います。この投稿の最後にある編集を参照してください）
さて、速記法で、次の方程式を書くことができます $X_t$ 上記のように：
$$dX_t=a(X_t,t) dt + b(X_t,t) dW_t$$
まず、速記法は実際にはどういう意味ですか？定義できます$\delta X_t$ 次のように：
$$\delta X_t:=X_t-X_0=\int_{h=0}^{h=\delta t}a(X_h,h) dh + \int_{h=0}^{h=\delta t}b(X_h,h) dW_h$$
その後 $dX_t$ 次の線に沿って（直感的に、厳密にではなく）理解できます。
$$\lim_{\delta t \to 0} \delta X_t = dX_t$$
しかし、それが実際に何であるかについての略記法、つまり確率積分の略記法を理解するのが最善だと思います。
伊藤の補題：
伊藤の補題は、そのような伊藤のプロセスについて $X_t$、2回微分可能な関数 $F()$ の $X_t$ そして $t$ 次の方程式に従います。
$$F(X_t,t)=F(X_0,t_0)+\int_{h=0}^{h=t} \left( \frac{\partial F}{\partial t}+\frac{\partial F}{\partial X}*a(X_h,h) + 0.5\frac{\partial^2 F}{\partial X^2}*b(X_h,h)^2 \right)dh+\int_{h=0}^{h=t}\left(\frac{\partial F}{\partial X}b(X_h,h)\right)dW_h$$
上記では、「二次変動」という用語を見つけることができます。
$$\int_{h=0}^{h=t}0.5\frac{\partial^2 F}{\partial X^2}b(X_h,h)^2 dh$$
（これは、「速記」表記では、次のように書くことができます。 $0.5F''(X_t)d\left<X\right>_t$、つまりあなたとまったく同じ $0.5f''(Y_t) d\langle Y \rangle_t$、私はただ使う $F$ の代わりに $f$ そして $X_t$ の代わりに $Y_t$：繰り返しになりますが、伊藤プロセスで何年も遊んだ後でも、速記は長い表記よりもはるかに直感的ではありません）。
速記表記を使用しない理由
ここで、速記表記が非常に混乱する可能性があると思う理由の例を示したいと思います。オルンシュタイン-ウーレンベック過程（以下、 $\mu$、 $\theta$ そして $\sigma$ 定数パラメータです）：
$$X_t:=X_0+\int_{h=0}^{h=t}\theta(\mu- X_h)dh + \int_{h=0}^{h=t}\sigma dW_h $$
我々は持っています $a(X_t,t)=\theta(\mu- X_h)$ そして $b(X_t,t) = \sigma$。
上記を解決する秘訣は、伊藤の補題をに適用することです $F(X_t,t):=X_t e^{\theta t}$、これは次のようになります。
$$X_te^{\theta t}=F(X_0,t_0)_{=X_0}+\int_{h=0}^{h=t} \left( \frac{\partial F}{\partial t}_{=\theta X_h e^{\theta h}}+\frac{\partial F}{\partial X}_{=e^{\theta h}}*a(X_h,h) + 0.5\frac{\partial^2 F}{\partial X^2}_{=0}*b(X_h,h)^2 \right)dh+\int_{h=0}^{h=t}\left(\frac{\partial F}{\partial X}_{=e^{\theta h}}b(X_h,h)\right)dW_h=\\=X_0+\int_{h=0}^{h=t}\left(\theta X_h e^{\theta h}+e^{\theta h}\theta(\mu- X_h)\right)dh+\int_{h=0}^{h=t}\left(e^{\theta h} \sigma\right)dW_h=\\=X_0+\int_{h=0}^{h=t}\left(e^{\theta h}\theta\mu\right)dh+\int_{h=0}^{h=t}\left(e^{\theta h} \sigma\right)dW_h$$
さて、の解決策を得るために $X_t$、最後のステップは単に両側をで割ることです $e^{\theta t}$、を分離する $X_t$ LHSの用語は、次のようになります。
$$X_t=X_0e^{-\theta t}+\int_{h=0}^{h=t}\left(e^{\theta(h-t)}\theta\mu\right)dh+\int_{h=0}^{h=t}\sigma e^{\theta(h-t)} dW_h$$
Ornstein-Uhlenbeckを解こうとしている多くの人々が、「速記」表記を使用してすべてを書き出すのを見てきました。最後のステップでは、 $e^{\theta t}$、私は人々が通常次のように書かれる用語を「キャンセル」するのを見てきました $e^{\theta h}$ 積分の内部：速記法では、積分ダミー変数とは何かを区別できないためです（つまり、 "$h$"）そしてすでに統合されていたもの"$t$"。
結論として、SDEに速記法を使用することはお勧めしません。それに遭遇した場合は、「それを実際の意味に翻訳する」ことをお勧めします（つまり、「長文」表記法）。 、それは物事を理解するのをはるかに簡単にしました。
二次変動の編集：確率過程の二次変動は、メッシュサイズがますます細くなるにつれて、確率の限界として定義されます。特にブラウン運動の場合、次のように記述できます。$\forall \epsilon > 0$：
$$\left<W\right>_t:=\lim_{n \to \infty} \mathbb{P}\left(\left|\sum_{i=1}^{i=n}\left(W_{t_i}-W_{t_{i-1}}\right)^2-t\right|>\epsilon\right)=0$$
つまり、2次変動が収束する確率 $t$メッシュサイズが無限に細くなると1になります（証明はかなり技術的です。たとえば、ここを参照してください。実際にはほぼ確実に収束を証明しているようです（確率の収束を意味します））。
次に、次のように書くことができます。
$$t=\int_{h=0}^{h=t}dh$$ そしてそれによってよく知られている式を得る：
$$ \left< W \right>_t=\int_{h=0}^{h=t}dh=t$$