いつでも分割できますか $[a,b]\times[c,d]$ 互いに素なブロックに $D_{ij}$ st $\left.f\right|_{D_{ij}}$ 全単射ですか？
によって与えられる関数を考えてみましょう $f:[a,b]\times[c,d]\to[0,1]^{2}$ そのような $0\leq a < b \leq 1$、 $0 \leq c < d \leq 1$。
さらに、それもあります $f\in C^{1}([a,b]\times[c,d],[0,1]^{2})$ そしてそれは全射です。
私の質問
いつでも分割できますか $[a,b]\times[c,d]$ 互いに素なブロックに $D_{ij} = [x_{i},x_{i+1}]\times[y_{j},y_{j+1}]$、 どこ $1\leq i \leq m$ そして $1\leq j\leq n$、 そのような $\left.f\right|_{D_{ij}}$ 全単射ですか？
もしそうなら、ブロックの最小数はありますか $D_{ij}$ この制限を満たす？
ここで私は関数を仮定します $f$ どこでも一定ではなく、 $|f^{-1}(\{(x,y)\})| < N$ すべてのための $(x,y)\in[0,1]^{2}$。
そのような質問は宿題ではありません。それは私の個人的な研究から生まれました。
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回答
答えはいいえだ。
例： $[a,b]=[c,d]=[0,1]$ そして $$f(x,y):=(g(x),y)$$ にとって $(x,y)\in[0,1]^2$、 どこ $$g(x):=c\,h(x),$$ $$h(x):=x^p (1+a \sin\ln x)$$ にとって $x\in(0,1]$ と $h(0):=0$、 $$p\in(1,\infty),\quad1>a>\frac p{\sqrt{p^2+1}},\tag{0}$$ そして $c:=1/\max_{x\in[0,1]}h(x)$。次に$f$ 全射です $C^1$ からの地図 $[0,1]^2$ に $[0,1]^2$。
また、 $(x,y)\in[0,1]^2$、 どれか $u\in(0,1]$、および任意 $v\in[0,1]$ 平等 $f(x,y)=(u,v)$ 意味する $y=v$ そして $$\Big(\frac{u/c}{1+a}\Big)^{1/p}\le x\le\Big(\frac{u/c}{1-a}\Big)^{1/p}$$ それゆえ $$\frac{\ln(u/c)}p-\frac{\ln(1+a)}p\le \ln x\le\frac{\ln(u/c)}p-\frac{\ln(1-a)}p,\tag{1}$$ そのため $\ln x$ せいぜい変化する $\frac{\ln(1+a)}p-\frac{\ln(1-a)}p=O(1)$ 均一に $u\in(0,1]$。
また、 $$g'(x)=cx^{p-1} [p+a (p \sin\ln x+\cos\ln x)] \\ =cx^{p-1} [p+a\sqrt{p^2+1}\,\sin(t+\ln x)]\tag{2}$$ いくつかの本当の $t$ （のみに依存 $p$ そして $a$）およびすべて $x\in(0,1]$。
したがって、条件（1）が与えられると、 $g'(x)$ 記号を変更できるのは $n$ いくつかの自然のために $n$ のみに依存 $p$ そして $a$。したがって、$|f^{-1}(u,v)|\le n+1$ のために $(u,v)\in(0,1]\times[0,1]$。また、$f^{-1}(0,v)=\{(0,v)\}$ のために $v\in[0,1]$。そう、$|f^{-1}(u,v)|\le n+1$ のために $(u,v)\in[0,1]\times[0,1]$。
一方、（2）と（0）から次のようになります。 $g'$ の任意の適切な近傍で何度も符号を変更します $0$。したがって、の制限$f$ 頂点を持つ任意の長方形に $(0,0)$ 全単射ではありません。
説明のために、以下はグラフです $\{(e^{-1/t},\ln h(e^{-1/t}))\colon0<t<1\}$ （左）と $\{(e^{-1/t},\ln h(e^{-1/t}))\colon0<t<0.1\}$ （右） $p=3/2$ そして $a=9/10$。これらのグラフは、関数のグラフの非線形に再スケーリングされたバージョンです（より良い認識のために水平および垂直に）バージョン$h$ の右の近所で $0$。
