JacobiFunctionに関連するラマヌジャンアイデンティティ[重複]

Question

次のアイデンティティは、ラマヌジャンによるものとされています $$\int_0^\infty \frac{{\rm d}x}{(1+x^2)(1+r^2x^2)(1+r^4x^2)\cdots} = \frac{\pi/2}{\sum_{n=0}^\infty r^{\frac{n(n+1)}{2}}} \, $$しかし、これをどのように証明しますか？右側の分母はヤコビ関数に関連しているので、モジュラー形式で進めることができるでしょうか？

Answer 1

今のところ部分的な答え。私たちはそれを証明しなければなりません$$ \prod_{n\geq 1}\frac{1}{1+r^n}=\sum_{k\geq 0}\prod_{n=1}^{k}\frac{r^{2n-1}}{r^{2n}-1} $$ または $$ \prod_{n\geq 1}\frac{1-r^n}{1-r^{2n}}=\sum_{k\geq 0}(-1)^k r^{k^2} \prod_{n=1}^{k}\frac{1}{1-r^{2n}} $$ または $$ \prod_{n\geq 1}(1-r^n) = \sum_{k\geq 0}(-1)^k r^{k^2} \prod_{n>k}(1-r^{2n}) $$

ここで、LHSは、オイラーの五角数の定理により、 $$\sum_{k=-\infty}^{+\infty}(-1)^k r^{k(3k-1)/2} $$ との係数 $r^m$ に $\prod_{n>k}(1-r^n)$ のパーティションの数に依存します $m$ カーディナリティのある別個の部分に $>k$、部品の数に応じて正または負の符号で説明されます。

これで、オイラーの五角数定理の組み合わせ論的証明で利用されたのと同じ対合、またはそれに非常に近いものを使用して、私たちの主張を証明することは難しくありません。