弱順序単位に収束するためにリース空間内の弱順序単位のネットを考えてみましょう。最下位が弱順序単位であるテールはありますか？

Question

しましょう $X$ 極端に切断された（開集合の閉包が開いている）コンパクトハウスドルフ空間であり、リース空間を考慮してください $C^\infty(X)$ からの連続関数の $X$ 拡大実数直線に $\mathbb{R}\cup\{\pm\infty\}$ そのようなプレイメージの $\mathbb{R}$ で密集しています $X$。小笠原の定理によれば、これは典型的な普遍的に完全なReisz空間です。

ネット $(x_i)_i$ Reisz空間で収束するために $x$ 減少するネットが存在する場合 $(y_j)_j$ 最小ゼロで $j$ あります $i_0$ と $|x_i-x|\le y_j$ すべてのために $i\ge i_0$。

仮定します $(f_i)_i$ の弱順序単位（正の可逆関数）のネットです。 $C^\infty(X)$、つまり、すべての $f_i$ セット $\{x\in X\colon f_i(x)>0\}$ で密集しています $X$、それは弱順序単位に順番に収束します $f$。それでは、$i_0$ そのような $\inf_{i\ge i_0}f_i$ 弱順序単位ですか？

Answer 1

それは本当ではない。しましょう$X = \beta \mathbb{N}$、 そのため $C(X) \cong l^\infty$。それぞれについて$i, k\in \mathbb{N}$ しましょう $f_{i,k}$ 常にある機能であること $1$ オン $\{1, \ldots, i\}$ そして常に $\frac{1}{k}$ 残りの部分に $X$。またしましょう$g_i$ 常にある機能であること $0$ オン $\{1, \ldots,i\}$ そして常に $1$ 残りの部分に $X$。

によって設定されたインデックスを注文する $(i,k) \leq (i', k')$ もし $i\leq i'$ そして $k \leq k'$。シーケンス$(g_i)$ 最小ゼロで減少し、それぞれについて $i$ 我々は持っています $|f_{i',k} - 1_X| \leq g_i$ すべてのために $i' \geq i$ そしてすべて $k$。そう$(f_{i,k})$ に収束するために $1_X$。しかし、$i_0$、 $k _0$ 後ですべての最小 $f_{i,k}$ 常にゼロオフ $\{1, \ldots, i_0\}$。