自分の解決策が理解できない $\log_5(3x-1)<1$ そして $\log(6/x)>\log(x+5)$
ここに、対数不等式の2つの例があります。解決できたのに、自分のプロセスを完全に理解することができませんでした。
$\boxed{\text{Example 1: }\log_5(3x-1)<1}$
$\log_5(3x-1)<1 \Longleftrightarrow 3x-1<5 \Longleftrightarrow x<2$
しかし、解決策はそうではありません $x\in(-\infty, 2)$
今の値を検討します $x$ どこ $\log_5(3x-1)$ 定義されている： $ 3x-1>0 \implies x>\frac{1}{3}$
解決策は交差点です。 $$(-\infty, 2)\cap \left(\frac{1}{3}, \infty \right) \implies x\in \left(\frac{1}{3}, 2\right)$$
$\boxed{\text{Example 2: }\log \left(\frac{6}{x}\right)>\log(x+5)}$
もう一度、私は解決しました
$\frac{6}{x}> x+5$ そして $x+5>0$、 なので $x>-5$ 対数の定義値の範囲です。 $$\frac{6}{x}> x+5 \Longleftrightarrow \frac{6}{x}-x-5 > 0 \Longleftrightarrow \frac{x^2+5x-6}{x}<0 \Longleftrightarrow \frac{x^2+5x-6}{x}<0 \Longleftrightarrow \frac{(x+6)(x-1)}{x} < 0$$
それから、私はちょうどテーブルをして、 $(-\infty, -6)\cup (0, 1) $
この問題の解決策は $ ((-\infty, -6)\cup (0, 1))\cap (-5, \infty) \implies x\in(0, 1) $
この質問の目的は次のとおりです。
- 不平等をよりよく解決する方法を理解し、それをより直感的に理解します。
- 不平等がどのように機能するかを理解し、それをより直感的に理解します。
- なぜ答えは定義された値との「解決策」の交差点です。
質問が初歩的すぎる場合は申し訳ありませんが、ヒントは大歓迎です。
回答
あなたはいくつかのアイデアを思いついたようです。
これが私たちの基本的な定義です $\log_b x = y \implies x = b^y$
場合 $y = 1$
$\log_b x = 1 \iff x = b$
この関数にはいくつかの基本的な特徴があります。
関数は「単調に増加」しています。あれは$\log x > \log y \iff x > y$
関数は「単射」です： $\log x = \log y \iff x = y$
そして、のドメイン $\log x = (0,\infty).$ 場合 $x<0$ 関数が定義されていません。
これらの語彙を知る必要はありません。対数関数に関連するため、その影響を理解する必要があります。
手元の問題に。
$\log_5 (3x-1) < 1 \implies 3x-1 < 5$最初の2つのルールから。そして$3x-1 > 0$ 最後のルールから
これらの制約をすべて前もってリストしておくことをお勧めします。
私たちはそれを次のように書くかもしれません： $0< 3x - 1 < 5$
$\frac 13 < x < 2$
2番目の問題の場合：
$\log \frac 6x > \log (x+5)\\ \frac 6x > x + 5 \text { and }\frac{6}x > 0 \text { and } x+5 > 0$
幸運なことに、 $\frac{6}x > 0 \implies x > 0 \implies x+5 > 0$ 最後の制約を削除できます。
制約 $x>0$ 私たちにサービスを提供しますか？ $x$不等式の記号を反転することを心配することなく。xが負である可能性がある場合、それはできません。
$0 > x^2 + 5x - 6$ そして $x>0$
$0>(x+6)(x-1)$ そして $x>0$
最初の不等式には解決策があります $(-6,1)$ そして2番目 $(0,\infty)$
$(0,1)$ 両方が成立する間隔になります。
あなたはこれらの不平等をうまく解決しているようです。コメントで示唆されているように、最初に制限を述べてから、そこから作業を進める方がよいかもしれません。
たとえば、最初の質問では、最初に解決策を取得します（$x<2$）次に、そこから制限を適用します。これがあなたのプロセスを混乱させているのかもしれないと思います。
対数が与えられたとき $\log_5(3x-1)$、最初にの値を見つける必要があります $x$ 満足 $3x-1>0$、対数に負の数が誤って存在しないようにするため。あなたが得ると$x>\frac{1}{3}$、その後、不等式の解決策を探し始めることができます。あなたが得ると$x<2$、考えなくても簡単に制限を適用できます。
2番目のものについても同じことが言えますが、制限を決定するときに左側の対数も考慮しませんでした（つまり、$x>-5$ しかし、あなたは得られませんでした $x>0$、答えに近づきます）。これで時間を節約できたと思います。
うまくいけば、これはあなたを助ける。