次元3のコンパクトで滑らかな多様体の分類。
コンパクト次元2の滑らかな多様体の分類を知っています。それらは、n個の「耳」を持つ球（n個のトーラスの連結和）またはm個のメビウスの帯（m個の実射影平面の連結和）を持つ球と微分同相です。Perelmanによって証明された幾何学的仮説が3次元多様体について何かを言っていることだけを知っていますが、次元2のコンパクトで滑らかな多様体の上記の正確な分類と同様のものを見つけることができません。同様の単純な分類はありますか？はいの場合、リンクを残したり、コメントに書き込んだりできますか？
回答
多様体は、連結和に同相であるときはいつでも、2つの被加数の1つが球に同相である場合に素数と呼ばれます。
次元2では、閉じたプライムマニホールドは $S^2$、 $\mathbb{RP}^2$、および $S^1\times S^1$。表面の分類により、すべての閉じた2次元多様体は、プライム多様体の連結和に同相です。向き付け可能な場合、接続された被加数は最大で一意です$S^2$ 被加数（いつでも合計を連結することができます $S^2$何も変更せずに）。向き付け不可能な場合、私たちはもはや独自性を持っていません$(S^1\times S^1)\#\mathbb{RP}^2$ 同相である $\mathbb{RP}^2\#\mathbb{RP}^2\#\mathbb{RP}^2$。ただし、の使用を禁止すると、一意性（球形の被加数まで）を回復できます。$S^1\times S^1$ 被加数。
閉じた3次元多様体についても同様の話があります。3次元多様体の素数分解定理は、閉じた3次元多様体はすべて、連結された素数多様体の和に同相であると述べています。向き付け可能な場合、接続された被加数は最大で一意です$S^3$被加数。場合$M$ は向き付け不可能であるため、一意性は保持されなくなりますが、の使用を禁止することで一意性を回復できます。 $S^2\times S^1$ 接続された被加数の1つとして。
次元2と3の主な違いは、素数3次元多様体が無限に多いことです。向き付け可能な場合、それらは3つのカテゴリーに分類されます。
- によってカバーされるそれらの多様体 $S^3$、
- マニホールド $S^2\times S^1$、および
- 向き付け可能な非球面多様体。
これらのカテゴリは、基本グループ、つまり、それぞれ有限、無限循環、および無限非循環を介して特徴付けることもできます。
ただし、向き付け不可能な場合、分類を認めるには素数多様体が多すぎます。私のこの質問に対する答えを参照してください。
次元4では、向き付け可能な場合でも、一意性がなくなります。例えば、$(S^2\times S^2)\#\overline{\mathbb{CP}^2}$ 同相である $\mathbb{CP}^2\#\overline{\mathbb{CP}^2}\#\overline{\mathbb{CP}^2}$。という事実との類似性に注意してください$(S^1\times S^1)\#\mathbb{RP}^2$ 同相である $\mathbb{RP}^2\#\mathbb{RP}^2\#\mathbb{RP}^2$。