実数の「要素」
この質問は、本質的には別の（削除された）質問の言い換えであり、AsafKaragilaによる「の要素」に関するコメントについて説明しています。$\pi$"。
自然数を集合として見る方法を知っているので、たとえば$3$ セットとして見ることができます $\{\:\emptyset, \{\emptyset\}, \{\emptyset, \{\emptyset\}\}\:\}$、要素もあります $\emptyset, \{\emptyset\}, \{\emptyset, \{\emptyset\}\}$。これはかなり具体的で自然なようです。
たとえば、2番目の空のセットを「マーカー」要素として追加することで、整数を処理するようにこれを適応させることができることがわかります（ $-3$ に対応 $\{\:\emptyset, \emptyset, \{\emptyset\}, \{\emptyset, \{\emptyset\}\}\:\}$）。また、この「マーカー」のアイデアを、有理数（整数のペアであり、特定の方法で上部と下部を「マーク」する）を処理するように適合させることができることもわかります。しかし、これは自然数の見方よりもはるかに総合的であるように思われるため、私はすでにここで緊張しています。
とにかく。のような数がどのように私には明らかではありません$\pi$ または $e$要素を持つことができます。1つの方法は、これらの数を数列の極限として、および有理数のリストとして表示することです。ただし、これらの数は複数のシーケンスの制限であるため、これは疑わしいようです。したがって、これらの数を表す正規のセットではなく、セットのファミリーが得られます。これは大丈夫ですか、それとも私の推論は壊れていますか？
だから私が聞きたいのは：
の要素は何ですか $e$？
または、もっと微妙に、この質問は意味がありますか、それとも「the」という単語を削除する必要がありますか？
回答
私の答えである文字列の正確なビットは何ですか？まあ、それはあなたがそれをどのようにコーディングするかに依存します。それはUTF-8なのか、それともUTF-16なのか、それともASCIIなのか。文字列をヌル終了シーケンスとして表すブラウザを使用している場合もあれば、より複雑なタイプのオブジェクトを使用している場合もあります。
重要なのは、あなたが今読んでいるこのテキストの文字列には、コンピュータのメモリ内のビットのシーケンスになるための無数の方法があり、すべてが有効で、すべて独自の方法で役立つということです。
同様に、実数は、ほとんどの人が通常考えるように、単なる抽象的な実体です。テキストの文字列のように。集合論、そして実際に数学の基礎は、これらの抽象的な実体を集合として（または他の基礎で）実装します。実数である正確なセットはどれですか？それはあなたがそれらをどのように実装するかに依存します。
実数の場合のいわゆる標準ルートと $\sf ZFC$ （およびそれに関連する集合論）は、次のようになります。
- 順序対のエンコーディング、通常はKuratowskiペアリングを修正します。
- 使用する $\omega$、自然数をモデル化するための最小の無限序数。
- 定義する $\Bbb Z$ の商として $\omega\times\omega$ 代数的に。
- 定義する $\Bbb Q$ の商として $\Bbb{Z\times Z}$ 代数的に。
- 定義する $\Bbb R$ の完了として $\Bbb Q$、集合論の場合、デデキント切断を介していくらか自然になります。
その場合の要素 $e$、または実際には任意の実数は、よりも小さい有理数です $e$。しかし、有理数は何ですか？まあ、それらは整数のペアのセットであり、それ自体は有限の序数のペアのセットであり、それ自体はかなりよく理解された構造を持っています。
ただし、実数をエンコードする方法はそれだけではありません。順序対をエンコードする別の方法を選択することも、有理数のコーシー列の同値類を使用してコーシー補完を使用することもできます。整数を別の方法でエンコードすることも、から移動することを決定することもできます$\omega$ 非負の有理数に変換し、次に負の有理数を導入します。
実数をセットにエンコードする方法はたくさんあります。実際、私たちはどんなサイズのセットでも取ることができます$2^{\aleph_0}$、「標準ルート」を実行してから、全単射を使用してこのエンコーディングを作成します。集合論では、実数はしばしば次のように見なされます。
- のサブセット $\omega$。
- からの機能 $\omega$ に $\omega$。
- からの機能 $\omega$ に $2$。
- 上記のセットのいくつかの組み合わせ。
これはコンテキストに依存します。読んでいる文字列が何らかの形で表されているかどうかの質問と同じように、使用しているブラウザ、使用しているオペレーティングシステムなどによって異なります。
だからあなたの質問に、の要素は$e$？まあ、それはどのセットが$e$。
Dedekindに続いて、すべての実数を、最大要素のない有理数の下向きに閉じた適切なサブセットとしてモデル化しましょう。次に$$e=\{x\in\mathbb Q:x<2.7\dots\}=\left\{\frac01,\frac11,-\frac11,\frac21,-\frac21,\frac12,-\frac12,-\frac31,\frac13,-\frac13,\frac23,-\frac23,\frac32,-\frac32,-\frac41,\dots\right\}$$
実数をどのように定義するかによって異なります。
実数を定義するためのコーシー列法は、デデキンドのアプローチよりも少し複雑です。この定義の実数は、有理数のコーシー列の同値類です。
これは、要素が単一のコーシー列であることを意味します $(x_n)_{n=1}^{\infty}$ に収束する有理数の $e,$ または、それほど周期的ではありませんが、次のようになります。
$$e_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k!}$$ 我々は持っています $(x_n)_{n=1}^{\infty}\in e$ もし $x_n-e_n\to 0.$
すでにの標準的な構造 $\Bbb Z$ から $\Bbb N$アドホックなアイデアとは異なります（これはおそらくはるかにスリムです）。その過程で、ペアと同値関係を多用します。したがって、ペアの場合はクラトフスキの定義を使用する可能性があることに注意してください$$ (a,b):=\{\{a\},\{a,b\}\}$$ 自然数のペアの同値類のセットとして定義します。 $$\Bbb Z:=\Bbb N^2/{\sim}$$ どこ $$ (a,b)\sim(c,d)\iff a+d=b+c.$$ そして、私たちは注入します $\Bbb N\to \Bbb Z$ 経由 $n\mapsto \overline{(n,0)}$。これとともに、$0\in\Bbb Z$ セットです $$\tag1\{\,(n,n)\mid n\in\Bbb N\,\}=\{\,\{\{n\}\}\mid n\in\Bbb N\,\}=\{ \{\{\emptyset\}\}, \{\{ \{\emptyset\} \}\}, \{\{\{ \{\emptyset,\{\emptyset\}\} \}\}\},\ldots\} $$ すでによりもはるかに複雑です $0=\emptyset\in\Bbb N$ 以前持っていた。
次に、通常は次のように定義します $\Bbb Q$ 整数のペアの同値類として、 $$ \Bbb Q:=\Bbb Z\times(\Bbb Z\setminus 0_{\Bbb Z})/{\sim}$$ 今回はどこ $$(a,b)\sim (c,d)\iff ad=bc. $$ そして、私たちは注入します $\Bbb Z\to \Bbb Q$ 経由 $k\mapsto \overline{(k,1)}$。
現実に到達するためのいくつかの方法が可能です。デデキント切断をお勧めしますが、デデキントの元の作品（有理数のセット）を除いて、（特定のプロパティを持つ）有理数の単一のセットのみを使用することをお勧めします$$\Bbb R:=\{\,A\in\mathcal P( \Bbb Q)\mid A\ne\emptyset\land A\ne\Bbb Q\land \forall x\in A,\exists y\in A, y>x\land \forall x\in A,\forall y\in \Bbb Q,y<x\to y\in A\,\}.$$
これで、の要素 $\pi$ 単にすべての有理数です $<\pi$ （例えば $3$ または $\frac{22}7$ または $-42$）。特に$0$ そのような要素ですが、そうではありません $0=0_{\Bbb N}=\emptyset$、または $0_{\Bbb Z}$ で説明されています $(1)$ 上記ですが、分数の同値類 $\{\,(0_{\Bbb Z},n)\mid n\in\Bbb Z, n\ne0_{\Bbb Z}\,\}$。