次数315の（非同型）群はいくつありますか？
そのようなすべてのグループが、位数5のグループと位数9のグループの半直積であることを示します。私の解決策を修正するのを手伝ってください！感謝します。
番号 $315=3^2 \cdot 5 \cdot 7$。グループがの直接の製品であることを示します$\mathbf{Z}/5\mathbf{Z}$ 次数7の巡回群と次数9の群の半直積を使用します。
シローの定理を使用して、位数のグループの数 $5$ どちらかです $21$ または $1$。番号$n_5= [G:N(P_5)]$、 どこ $P_5$ 順序のSylowグループを示します $5$。場合$n_p=21$、その後 $|N(P_5)|=3$、サブグループが含まれているため不可能です $P_5$。したがって、位数5の一意のグループがあります。
次に、Sylow-7サブグループの数を決定する必要があります。番号$n_7 \equiv 1 \mod 7$ そして $n_7 | 45$。したがって、2つのオプションのみがあります$15$ そして $1$。15を排除しましょう：Sylowの定理により、Sylow-7グループが呼び出された場合$P$、その後 $n_p = [G: N_G( P)]$。場合$n=15$、次にノーマライザーの順序は23です。グループ $P$ は独自のノーマライザー内のサブグループですが、 $15$ 分割しない $23$。
今、私たちは位数のグループを調査します $9$。順序のすべてのグループがそのことを示すのは簡単です$p^2$アーベルです。したがって、位数のグループ$9$ です $\mathbf{Z}/3\mathbf{Z}\times \mathbf{Z}/3\mathbf{Z}$ そして $\mathbf{Z}/ 9\mathbf{Z}$。の自己同型$\mathbf{Z}/9\mathbf{Z}$ジェネレータの場所によって決定されます。がある$\varphi(9) = 6$可能な場所。がある$2$ の自己同型 $\mathbf{Z}/3\mathbf{Z}$、さらに交換できます $(0,1)$ そして $(1,0)$ に $\mathbf{Z}/3\mathbf{Z} \times \mathbf{Z}/3\mathbf{Z}$、合計で $8$可能な自己同型。次数7のサブグループは、すべての要素が次数7であるため、からの自明でないマップは存在しない可能性があります。$\mathbf{Z}/7\mathbf{Z}$ これらの自己同型群に。
したがって、位数のすべてのグループが $315$ アーベルであり、形式を取ります $\mathbf{Z} /3\mathbf{Z}\times \mathbf{Z}/3\mathbf{Z} \times \mathbf{Z}/7\mathbf{Z}\times \mathbf{Z}/5\mathbf{Z}$ または $\mathbf{Z}/9\mathbf{Z}\times \mathbf{Z}/7\mathbf{Z}\times \mathbf{Z}/5\mathbf{Z}$。
回答
エラーは次のとおりです。
場合 $n_p=21$、その後 $|N(P_5)|=3$、サブグループが含まれているため不可能です $P_5$。
いいえ、もし $n_5 = 21$、その後 $\lvert N(P_5) \rvert = \lvert G \rvert / n_5 = 315/21 = 15$、これは明らかに不可能ではありません。
場合 $n=15$、次にノーマライザーの次数は23です。
いいえ、もし $n_7 = 15$、次にノーマライザーには順序があります $315/15 = 21$。
グループ $P$ は独自のノーマライザー内のサブグループですが、 $15$ 分割しない $23$。
の順 $P$ です $7$ではなく $15$。 $7$ 除算しますか $21$。
がある $2$ の自己同型 $\mathbf{Z}/3\mathbf{Z}$、さらに交換できます $(0,1)$ そして $(1,0)$ に $\mathbf{Z}/3\mathbf{Z} \times \mathbf{Z}/3\mathbf{Z}$、合計で $8$ 可能な自己同型。
実は $48$ の自己同型 $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$。
ここにはもっと大きな問題があります。あなたは半直積の可能性を判断するために自己同型グループを見ているようですが、このグループが半直積として分解することさえ示していません！これは、すべてのSylowサブグループが正常である場合（たとえば、Schur-Zassenhausによる）は簡単ですが、一般に、Sylowサブグループはすべて正常ではありません（実際、315次の非アーベル群があります）。