条件付き正規分布[重複]

Question

条件付き二変量正規分布を見つけたいと思います。同じ分布と相関係数を持つ2つの従属正規変数があります$\rho$： $X,Y \sim N(\mu, \sigma^2)$。入手したい$P(X|Y>M)$。

の条件付き期待値を見つけました $X$ とすれば $Y$ より大きい $M$： $E(X|Y>M)= \mu + \rho \sigma \frac{\phi(\frac{M-\mu}{\sigma})}{1-\Phi(\frac{M-\mu}{\sigma})}$。

しかし、の条件付き分散は何ですか $var(X|Y>M)$？それは...ですか$(1-\rho^2)\sigma^2 $、の場合のように $var(X|Y=M)$、分散が依存しない場合 $M$？

そして、条件付き分布です $N(E(X|Y>M),var(X|Y>M))$？

Answer 1

条件付き分散は $M$。

条件付き分散の閉じた形を見つけることができませんが、密度の閉じた形を見つけることができます。条件付き確率の定義を使用した条件付き累積分布関数から始めて、それを微分して条件付き密度を見つけました。

Mathematica入力フォームを使用した密度は次のとおりです。

(((mu*(-1 + rho) - rho*t)*Erf[Sqrt[-((mu*(-1 + rho) - rho*t)^2/((-1 + rho^2)*s^2))]/Sqrt[2]])/Sqrt[-((mu*(-1 + rho) - rho*t)^2/((-1 + rho^2)*s^2))] - 
  ((M + mu*(-1 + rho) - rho*t)*Erf[Sqrt[-((M + mu*(-1 + rho) - rho*t)^2/((-1 + rho^2)*s^2))]/Sqrt[2]])/Sqrt[-((M + mu*(-1 + rho) - rho*t)^2/((-1 + rho^2)*s^2))] + 
  (1 + Erf[Sqrt[(2*s^2 - 2*rho^2*s^2)^(-1)]*(mu - mu*rho + rho*t)])/Sqrt[(s^2 - rho^2*s^2)^(-1)])/(2*E^((mu - t)^2/(2*s^2))*Sqrt[2*Pi]*Sqrt[(1 - rho^2)*s^4]*(1 - Erfc[(-M + mu)/(Sqrt[2]*s)]/2))

条件付き平均の式は正しいです。

条件付き分散は $M$ 数値積分で計算したからです。