状態とその周辺分布の間の最大相対エントロピー

Question

バックグラウンド

量子相対エントロピーは、任意の量子状態に対して定義されます $\rho, \sigma$ なので

$$D(\rho\|\sigma) = tr(\rho\log\rho) - tr(\rho\log\sigma)$$

任意の選択のために $\rho,\sigma$、量子相対エントロピーは任意の非負の値を取ることができます。いくつかの二部状態を考慮してください$\rho_{AB}$ そしてその周辺を $\rho_A$ そして $\rho_B$。考えれば$D(\rho_{AB}\|\rho_A\otimes\rho_B)$、相互情報量があります。さらに、私たちはそれを持っています

$$D(\rho_{AB}\|\rho_A\otimes\rho_B) \leq \min(2\log|A|, 2\log|B|)$$

質問

相対エントロピーのワンショットアナログは最大相対エントロピーであり、次のように定義されます。

$$D_{\max}(\rho \| \sigma)=\inf \left\{\lambda \in \mathbb{R}: 2^{\lambda} \sigma \geq \rho\right\},$$

どこ $A\geq B$ それを示すために使用されます $A-B$正の半定値です。通常の相対エントロピーと同様に、最大相対エントロピーも負でない値を取ることができます。私が今考えれば$D_{\max}(\rho_{AB}\|\rho_A\otimes\rho_B)$、取ることができる最大値に上限はありますか？

の場合から答えはイエスだと思います $+\infty$ のサポートにより除外されます $\rho_{AB}$ のサポートに含まれている $\rho_A\otimes\rho_B$ しかし、限界を見つけることができませんでした。

Answer 1

$\renewcommand{ket}[1]{\left| #1 \right\rangle}$ 相互情報量の限界を飽和させる状態は $$\rho_{AB} = \frac{1}{N} \sum_{i = 1}^{N} \ket{a_i}\ket{b_i} $$ どこ $N = \min(|A|,|B|)$ そして $\{\ket{a_i}\}, \{\ket{b_i}\}$ の拠点です $A,B$、それぞれ。直感的に、この状態は維持しながら周辺分布のエントロピーを最大化します$A$ そして $B$ 完全に相関しています。

この状態は $I_{\max} = \log_2(N)$。これが上限であることを証明していませんが、開始するのに適した場所のようです。