順序のグループの分類 $12$。
すべての順序のグループを分類したい $12$。
しましょう $G$ とのグループになる $|G|=12$。次に$n_3=1$ または $4$。
- 場合 $n_3=4$ その後、私たちは持っています $|G:\langle x \rangle |=4$ どこ $\langle x\rangle$ シローです $3-$ サブグループ（通常ではない $G$）準同型があります $r:G\to S_4$ と $ker(r)\subseteq \langle x\rangle$ そして $ker(r)\lhd G\Rightarrow ker(r)=\{1\}$ そう $G$ に埋め込まれています $S_4$ とoredrを持っています $12$ したがって、 $G\cong A_4$。
- 場合 $n_3=1$ その後、私たちはユニークなシローを持っています $3-$ サブグループ $P=\langle x\rangle$ そしてしましょう $H$ シロー $2-$のサブグループ $G$。次に$G= P\rtimes_u H$ どこ $u:H\to Aut(P)$ そして $Aut(P)=Aut(\langle x\rangle)=\langle \tau\rangle,\ \tau:x\mapsto x^{-1}$、 $|Aut(\langle x\rangle)|=2$。
- 場合 $H\cong \mathbb{Z}_4=\langle y\rangle$ その後、私たちは持っています $u:\langle y\rangle \to \langle \tau\rangle$
場合 $u$ ささいなことです $u(y)(x)=x$ したがって、 $yxy^{-1}=u(y)(x)=x$ そう $G\cong \mathbb{Z}_3\times \mathbb{Z}_4$
場合 $u(y)(x)=x^{-1}$ その後 $yxy^{-1}=x^{-1}$ そう $G=\langle x,y| \ x^3=y^4=1,\ yxy^{-1}=x^{-1} \rangle$
-もし $H\cong \mathbb{Z}_2\times \mathbb{Z}_2=\langle a\rangle \times \langle b\rangle$ その後、私たちは持っています $u:\langle a\rangle \times \langle b\rangle\to \langle \tau\rangle$
場合 $u$ ささいなことです $G\cong \mathbb{Z}_3\times\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2$
場合 $u(a)(x)=x^{-1}$ その後 $G=\langle a,b,x| \ a^2=b^2=1,\ axa^{-1}=x^{-1},\ bx=xb\rangle$
したがって、 $5$ 次数の非同型群 $12$
質問1）上記の証明は正しいですか？
質問2）私は見つけるべきだったと知っています $D\cong D_6$ どこかで、何か間違ったことをしたか、発音が正しく見えないかもしれません。
回答
証拠は良いです。より明確に構成でき、グループを明確に識別できると思います。次のグループが存在することがわかっています。
- アーベル： $C_{12}$、 $C_2 \times C_2 \times C_3$。
- 非アーベル群： $A_4$、 $D_6$、 $Dic_3$ （12次のメタサイクリックグループとしても知られています）。
シローの定理は、シローの3つのサブグループが $C_3$、およびSylow2-サブグループは $C_4$ または $C_2 \times C_2$。また、次のことも学びます。
- $n_2 = 1$ または $3$。
- $n_3 = 1$ または $4$。
いつ $n_2 = n_3 = 1$ アーベル群があります。
いつ $n_3 = 4$ あなたは私たちが持っていることを示しました $A_4$。
これで、残っている唯一のケースを見ることができます。 $n_3 = 1$ そして $n_2 = 4$。この状況では、重要な半直積を探しています$C_3 \rtimes_\theta P_2$ と $\theta : P_2 \to \operatorname{Aut}(C_3)$。
ご了承ください $\operatorname{Aut}(C_3) \simeq \langle id, inv \rangle \simeq C_2$
何に基づいてケースに分けましょう $P_2$ です。
（ケースA）$P_2 = C_4$：
この場合、から強制される重要な準同型が1つだけあります。 $\theta(0) = 0$ そして $\theta(1) = 1$。これにより、メタサイクリックグループが得られます。$Dic_3$。
（ケースB）$P_2 = C_2 \times C_2$：
この場合、3つの異なる自明でない準同型があります。
- $\theta_a(0,0) = 0$、 $\theta_b(0,0) = 0$、 $\theta_c(0,0) = 0$
- $\theta_a(0,1) = 1$、 $\theta_b(0,1) = 0$、 $\theta_c(0,1) = 1$
- $\theta_a(1,0) = 0$、 $\theta_b(1,0) = 1$、 $\theta_c(1,0) = 1$
- $\theta_a(1,1) = 1$、 $\theta_b(1,1) = 1$、 $\theta_c(1,1) = 0$
の自己同型があるので、これらは実際にはすべて同型半直積を与えます $P_2$ これらのマップを相互に関連付けるもの：
- $(a,b) \mapsto (a,b)$
- $(a,b) \mapsto (b,a)$
- $(a,b) \mapsto (a,ab)$
今、私たちは使用することができます $\theta_a$ そしてそれを見るための半直積の要素の乗算の定義 $C_3 \rtimes_{\theta_a} C_2 \times C_2 \simeq S_3 \times C_2 \simeq D_{6}$。