順序のグループを示す $pq$ 順序のサブグループがあります $p$ そして $q$ シローの定理とコーシーの定理を使用せずに

Question

場合 $o(G)$ です $pq$、 $p>q$ 素数である、それを証明する $G$ 順序のサブグループがあります $p$ と位数のサブグループ $q$。

[この質問はハーシュタインからのものであり、シローとコーシーの定理の前にあります。だから私はこれらのどれも使わずに答えを期待しています]

これが私がこれまでに得たものです：

場合 $G$ 巡回である場合は、それ以外の場合は完了します。巡回ではないと見なすことができます。つまり、すべての非単位元は次数でなければなりません。 $p$ または $q$。

場合 $(1)$ 存在する場合 $a\in G$ そのような $o(a) = p$ そして位数の要素も存在する場合 $q$その後、完了です。したがって、すべての非単位元は位数であると想定できます。$p$。今選ぶ$b\in G$ そのような $b\notin \langle a \rangle$ その後 $o(b) = p$ そして $\langle a \rangle\cap\langle b \rangle =(e)$

だから私たちは持っています $\langle a\rangle \langle b\rangle\subset G$ だが $o(\langle a \rangle \langle b \rangle) = \dfrac {o(\langle a \rangle)o(\langle b \rangle)}{o(\langle a\rangle \cap \langle b\rangle)} = p^2$ だが $p^2 > pq$ [以来 $p>q$]それで矛盾が生じました。

2番目のケースのヒントを教えてください。最初のケースの議論が間違っている場合は訂正してください。

Answer 1

すべての非単位元が位数の巡回群を生成すると仮定します $q$、素数の小さい方。

共役は、グループの同値関係です。したがって、グループをその同値類に分割できるはずです。要素が属する同値類のサイズは、要素のセントラライザーのインデックスです。どうして？修正$x\in G$。から準同型を作る$G \rightarrow G$ 送信することによって $g \rightarrow xgx^{-1}$。同値類のサイズは画像の次数です。このマップのカーネルは何ですか？

セントラライザーが正常な場合 $p$ または $pq$、完了です。すべてのセントラライザーが正常であると仮定します$q$、セントラライザーのインデックスは $pq/q=p$。すべての要素は、サイズの同値類に属します$p$、単位元を除く。

単純なカーディナリティ計算は、 $pq= kp+1$、ここで、は同値類の数を表します。ただし、これはばかげているため、順序のすべてのサブグループではありません$q$。