順序統計[重複]

Question

確率変数 $X_1, X_2, . . . , X_n, Y_1, Y_2, . . . , Y_n$ iidです $\mathcal{U}(0, a)$。の分布を決定する$$Z_n = n \log\bigg(\frac{\max\{X(n), Y(n)\}}{\min\{X(n), Y(n)\}}\bigg)$$ の同時分布を見つける必要があります $\max$ そして $\min$ そして、の分布を見つける $Z_n$、2つの異なる確率変数があるので、その方法がわかりません。

Answer 1

まず、ランダムベクトルを観察します $\Big(X_{(n)},Y_{(n)}\Big)$ でサポートされています $(0,a)^2$。仮定します$f$はその同時密度です。以来$X_{(n)}$ そして $Y_{(n)}$ 独立している、私たちは持っています $$f(x,y)=f_{X_{(n)}}(x)f_{Y_{(n)}}(y)=n^2a^{-2n}x^{n-1}y^{n-1}$$ のために $(x,y)\in (0,a)^2$。また、どのように観察する$Z_n$ でサポートされています $[0,\infty)$、これは $z\geq 0$ 我々は持っています $$F_{Z_n}(z)=P(Z_n\leq z)=P\Big(Z_n\leq z,X_{(n)}<Y_{(n)}\Big)+P\Big(Z_n\leq z,X_{(n)}\geq Y_{(n)}\Big)$$ 少し代数で $$F_{Z_n}(z)=P\Big(X_{(n)}<Y_{(n)}\leq e^{z/n}X_{(n)}\Big)+P\Big(Y_{(n)}\leq X_{(n)} \leq e^{z/n}Y_{(n)}\Big)$$ この確率は二重積分として書くことができます $$F_{Z_n}(z)=2\int_0^{a} \int_{\frac{x}{e^{z/n}}}^{x}f(x,y)dydx=1-e^{-z}$$ これは $Z_n \sim \text{Exp}(1)$。