順列多項式を一般化するのが簡単な記数法の例は何ですか？
私は置換多項式（PP）に関する課題を書いています。私はすでにPPのかなりの数の一般化と特徴付けを調査しました$\mathbb{Z}_p$ ために $p$ 素数（および一般に有限体）と $\mathbb{Z}$。分析する別のナンバリングシステムを探しています。理想的には、PPの一般的な形式を簡単に導き出すことができるシステムです。これは簡単に達成できました$\mathbb{Z}$ 評価マップの基本的なプロパティを使用して $\mathbb{Z}_p$ラグランジュ補間+関連技術を使用します。この記数法は、非有限体または単一性のある可換環にしたいと思います。誰か提案があれば、それは大いにありがたいです。
回答
次のことが頭に浮かびます。
上の二次順列多項式 $\Bbb{Z}_m$。
しましょう $m>1$任意の整数である。二次多項式関数を考えてみましょう$$ f:\Bbb{Z}_m\to\Bbb{Z}_m, x\mapsto ax+bx^2. $$ 次のことを証明します（比較的簡単です。ヒントが必要かどうか尋ねてください）。
補題。場合$\gcd(a,m)=1$ そして $b$ のすべての素因数で割り切れる $m$、その後 $f$ 順列です。
これをお勧めする理由は、このような置換多項式がターボコードインターリーバーとしてLTE標準で頻繁に使用されているためです（2009年に完成した標準のバージョンで、更新は保留中であり、最終的にこの部分は廃止される可能性があります）。言い換えれば、私の情報が「日付」でない限り、あなたの携帯電話がそのような順列を毎秒数百万回計算している可能性があります。私が思い出したLTEのバージョンでは、$m$、それぞれが2の比較的高い累乗で割り切れ、最適化されています $(a,b)$ そのようなそれぞれのペア $m$。このような順列を選択する理由は少し技術的ですが、このアプリケーションはクールすぎて合格できないと思います。
アイデアはで紹介されました
J.SunおよびOYTakeshita、「整数環上の順列多項式を使用したターボ符号のインターリーバー」、IEEETrans。Inf。理論、vol.51、no。1、pp。101–119、2005年1月。
これはIEEEペイウォールの背後にありますが、うまくいけば、あなたの機関がアクセスできます。おそらく、私がその日に使用した3GPP分や仕様への参照は古くなっています。当時の大きなセルラープレーヤーで働いていたとき、私は逆順列をもう少し熱心に研究しました:-)