可換図式の関数合成：基本的な質問
私は働く数学者のためのカテゴリーを調べようとしていますが、すぐに混乱のポイントに遭遇しました。
関数の合成は可換です。 $f\circ g = g\circ f$。しかし、この図の場合$f:\mathbf{R}^2 \to \mathbf{R}$、 $g:\mathbf{R}\to\mathbf{R}$、および $h:\mathbf{R}^2\to\mathbf{R}$、ダイアグラムは構成なしで通勤できます $f\circ g$通勤。ダイアグラムの通勤のアイデアは、その関数（または射）の構成が通勤するかどうかとはまったく関係がありませんか？
回答
可換性の図は、別の可換性である組成物。あなたの写真の三角形が通勤していると述べることは別の言い方です$h=g\circ f$。
より複雑にするために、同じ開始から同じ終了までの任意のパスに沿った構成が等しくなければならない場合、図は通勤すると言われます。あなたの三角形には、2つの道があります$X$ に $Z$：あなたが直接フォローするか $X\xrightarrow hZ$、またはコンポジットをフォローします $X\xrightarrow fY\xrightarrow gZ$。可換性は、これらは同じものであり、したがって、$h=f\circ g$。
これが図のこの可換性を呼び出す理由であるかどうかはわかりませんが、2つの射$p,q:A\to A$ 正方形の場合は互いに通勤する $\require{AMScd}$ \ begin {CD} A @> p >> A \\ @VqVV @VVqV \\ A @ >> p> A \ end {CD}は図として通勤します（実際、これは別の言い方です）$p\circ q=q\circ p$）。
可換図式は、射のいくつかの同等性を同時に簡潔かつ視覚的に表示できるため、実用的に役立ちます。たとえば、少し大きい図\ begin {CD} A @> t >> B @> u >> C \\ @VvVV @VVwV @VVxV \\ D @ >> y> E @ >> z> F \ end可換である{CD}は、すべての方程式を表します
- $x\circ u\circ t=z\circ w\circ t=z\circ y\circ v$
- $x\circ u=z\circ w$
- $w\circ t=y\circ v$
方程式の最初のチェーンは後の2つから推測できるため、ある程度の冗長性があることに注意してください。ただし、これは、そのコンポーネントが両方とも通勤することを観察することで、図全体の可換性を簡単に示すことができることを反映しています。このような手法は、図がより複雑になるときに役立ちます。