解決する $n < e^{6 \sqrt{n}}$

Question

のどの値を見つける $n \in \mathbb{N}$ それはそれを保持します $$n < e^{6 \sqrt{n}}.$$

不等式を使ってみました $(1 + x) \leq e^x$、しかしこれから、私は不等式が成り立つことを見つけることができるだけです $n > 36$。しかし、私は取得する必要があります$n$ できるだけ小さくします。

私も誘導を試みました $n$、しかし私は誘導ステップで立ち往生しました。特に、それを示す際に$e^{6\sqrt{n}} + 1 \leq e^{6\sqrt{n+1}}$。

私はどんな助けや提案にも感謝します。

Answer 1

我々は持っています $e^{3x} > 3x \ge x$ ために $x\ge 0$。これをに適用する$x = \sqrt{n}$ 取得するため $e^{3\sqrt{n}} > \sqrt{n}$。両側を正方形にすると、$e^{6\sqrt{n}} > n$ すべてのために $n\ge 0$。

Answer 2

（user2661923からのヒントに基づいて、上記のコメントを参照してください。）

設定しました $f(x) = e^{6\sqrt{x}} - x$。の最初の派生$f(x)$ です $$f'(x) = 3 \frac{e^{6\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} - 1.$$

私たちは注意します $f(1) = e^6 - 1 > 0$。また、それを確認するのは難しいことではありません$f'(x) > 0$ ために $x \in [1, +\infty)$。したがって、$f$ 増加しています $[1, +\infty)$ そして $f(1) > 0$。したがって、$f(x) > 0$ すべてのために $x \in [1, +\infty)$。それは$x < e^{6\sqrt{x}}.$

そして、私の質問は簡単に続きます。

Answer 3

不平等はすべてのポジティブに当てはまります $x$、非常に効果的であるため、証明はやり過ぎのようです:-)

（注意してください $0<e^{6\sqrt0}$ そして $1<\dfrac6{2\sqrt x}e^{6\sqrt x}$。）

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またはテイラーを使用して、

$$n<1+6\sqrt n+18n+\cdots$$