各文字を最大限に使用できる場合、4文字の単語をいくつ形成できますか $2$ 何回?

Aug 17 2020

あなたは5文字を持っています $A, B, C, D$ そして $E$。各文字を最大で使用できる場合、4文字の単語をいくつ形成できますか$2$何回?(単語に文字が表示されます$0, 1$ または $2$ 回数。)

私が試してみました $5\cdot4\cdot3\cdot3$ そして、位置を配置できると思いました $4\cdot3\cdot2\cdot1$。ただし、これはで割る必要があります$2$ なぜなら $A~A~\_~\_$ そして $A~A~\_~\_$同じ結果です。しかし、私が得た答えは正しくありませんでした。キーによる正解は$540$

回答

2 TheSilverDoe Aug 16 2020 at 22:27

$5$ 文字、あなたは作ることができます $5^4$ 四文字言葉。

しかし、これらの言葉の中で、

  • 4回繰り返される1文字のものがあります(明らかにあります $5$ そのような言葉);
  • そして、3回繰り返される文字の単語があります。がある$5 \times 4 \times 4$ そのような言葉(確かにあなたは三重の文字を選ばなければなりません- $5$ 可能性、他の手紙- $4$ 可能性が残っており、最後に他の手紙の場所- $4$ 可能性)。

したがって、カウントしたい単語の総数は $$5^4 - 5 - 5\times 4 \times 4 = 540$$

1 SarGe Aug 16 2020 at 22:29

考えられるケースは3つあります。

1.すべての文字が異なる

お気に入り ($A, B, C, D$)。選択$4$ からの手紙 $5$ そしてそれらを配置すると $\displaystyle{5\choose 4}\cdot 4!=120$ 方法。

2.2つの異なる2つの同じ

(お気に入り $A,B,C,C$)。選択$3$ からの手紙 $5$ そして再びそれらから1つを選択します $3$ 4番目の文字としての文字とそれらを配置する: $\displaystyle{5\choose 3}\cdot{3\choose 1}\cdot\frac{4!}{2!}=360$ 方法。

3.2つの異なる文字のみ

(お気に入り $A,A,C,C$)。選択$2$ からの手紙 $5$ 手紙とアレンジは与える $\displaystyle{5\choose 2}\cdot\frac{4!}{2!\cdot2!}=60$ 方法。

これらすべてを追加すると、 $540$