確率密度関数（PDF）の「密度」とは正確にはどういう意味ですか？[複製]
一般に、密度は質量/体積です。また、人口/単位面積である人口密度のようなものにも使用されます。
PDFの単語密度の重要性は何ですか？
回答
簡単な答え：物理密度と同様に、確率密度は確率/体積です。
長い答え：均質なオブジェクトの場合、密度はあなたが言ったように定義できます、$m/V$、と $m$ 質量を示し、 $V$そのボリューム。ただし、オブジェクトが均一でない場合、密度はオブジェクト内の空間座標の関数です。$$ \rho(x, y, z) = \lim_{\Delta V \rightarrow 0} \frac{\Delta m(x, y, z)}{\Delta V} $$つまり、指定された座標の周りの微小ボリューム内の質量を、その微小ボリュームで割ったものです。プラムプディングを考えてみてください。レーズンの密度は生地の密度とは異なります。
確率については、基本的に同じです。 $$ f(x, y, z) = \lim_{\Delta V \rightarrow 0} \frac{\Delta F(x, y, z)}{\Delta V} $$ どこ $f$ は確率密度関数（PDF）であり、 $F$ 累積密度関数（CDF）、 $\Delta F$ は、微小ボリューム内の微小確率です。 $\Delta V$ 座標の近く $(x, y, z)$ その上にある空間で $F$ が定義されています。
今、私たちはたまたま3つの空間次元を持つ物理的な世界に住んでいますが、空間のすぐ上で確率を定義することに限定されていません。実際には、単一の次元で定義された確率を使用する方がはるかに一般的です。$x$。次に、上記は単純化して$$ f(x) = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta F(x)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{F(x+\Delta x) - F(x)}{\Delta x} $$ しかし、もちろん、確率モデルによっては、 $F$ そして $f$ 任意の数の次元で定義できます。
ラドン-ニコディム導関数は、密度のより一般的な概念の正式な定義として見ることができます。
これは、同じ空間で定義された2つのメジャー（広範なプロパティを持ち、加算的です）の比率です。
$$\rho = \frac{d \nu}{d \mu}$$
この比率により、1つの数量が測定されます $\nu$ セットの $S$ 他の測度に対する積分で表現可能 $\mu$ $$\nu(S) = \int_S \rho d \mu$$
通常、分母 $\mu$は、距離、面積、体積などのメートル法に基づく測度です。これは、質量密度、エネルギー密度、電荷密度、粒子密度などの物理学の密度で一般的です。
確率密度関数を使用すると、分母は、より一般的には、物理空間に関係のない別のタイプの変数になります。それでも、ユークリッド測度またはルベーグ測度の使用においてはよく似ています。変数が物理空間の座標である必要がないというだけです。
単一の連続確率変数の場合、その時点でのpdfの値 $t$ポイントでの、単位長さあたりの確率質量の単位で測定された確率質量の密度を示します$t$実数直線上。確率質量の密度は、実数直線上のさまざまなポイントで異なる可能性があります。それは高校の物理学の質量/体積処方ほど簡単ではありません。