関数方程式の一意性?
TL; DR。パラメータがなぜか理解しようとしています$\beta$ ギブス測度では、温度の逆数です $1/T$ 熱力学の文脈で。
からの滑らかな全単射(微分同相写像)の空間で $(0,\infty)$ に $(0,\infty)$、 関数
$$ x \mapsto \frac{1}{x}$$
関数方程式を満たす
$$ \frac{\phi(x) + \phi(y)}{2} = \phi(\frac{2xy}{x+y}).$$
確かに、
$$ \frac{\frac{1}{x} + \frac{1}{y}}{2} = \frac{x+y}{2xy}.$$
質問
これが唯一の解決策ですか?
試みと動機
制限の調査、特別な値の検索、差別化など、いくつかの手法を使用しました。 $x\phi(x)$..など。この質問は統計力学から来ています。ギブス測度を受け入れた後、それは私が理解するのに役立ちます
$$ \mu(s) \sim exp(-\beta s) $$
当然です、なぜパラメータ $\beta$ ラグランジュ乗数法から導入されたものは、当然、温度の逆数に対応します。 $\frac{1}{T}$ 熱力学の文脈で。
回答
見つけるためのヒント $\phi$:wrtを区別する $x$ 取得するため $\frac 1 2 \phi'(x)=\phi '(\frac {2xy} {x+y}) \frac {2y^{2}} {(x+y)^{2}}$。今置く$x=1$ 取得するため $ \phi '(\frac {2y} {1+y})$。プット$t=\frac {2y} {1+y}$ そして、あなたは得るでしょう $\phi'(t)$ すべてのための $t \in (0,1)$。
治療 $\phi'(1)$ 任意の定数として $c$、それからあなたは持っているでしょう
$$t^2 \phi'(t) = c.$$
平均値の定理により、 $\phi(t) = c/t$ 唯一の解決策です。