関数の方向微分 $ f(\mathbf{x})=\sum_{i=1}^{n-1}\left|x_{i+1}-x_{i}\right| $
問題:関数を検討してください $$ f(\mathbf{x})=\sum_{i=1}^{n-1}\left|x_{i+1}-x_{i}\right|, \quad \mathbf{x}=\left(x_{1}, \cdots, x_{n}\right)^{T} $$ オン $\mathbb{R}^{n}$ と $n \geq 2 .$ 任意のベクトルの場合 $\mathbf{v}=\left(v_{1}, \cdots, v_{n}\right)^{T}$、方向微分を見つける $D_{\mathbf{v}} f(\mathbf{x})$
誰でも簡単にそれを見ることができます $h( \neq 0)\in \mathbb R$、 $$\frac{f(\mathbf x+h\mathbf v)-f(\mathbf x)}{h} \leq f(\mathbf v)$$三角不等式から。しかし、限界を見つける方法$$\lim_{h \rightarrow 0 }\frac{f(\mathbf x+h\mathbf v)-f(\mathbf x)}{h}$$
回答
これをヒューリスティックに次のように攻撃します。
評価したい式は
$$D_{\mathbf{v}}f(\mathbf{x}) = \lim_{h \to 0} \frac1{h} \sum_{i=1}^{n-1}\left [\left |x_{i+1}-x_i + h (v_{i+1}-v_i) \right |- \left |x_{i+1}-x_i \right | \right ]$$
仮定する $h > 0$ そして $x_{i+1} \ne x_i$ すべてのために $i \in {1,2,\cdots,n-1}$。これを通過する方法は、の値が存在することを認識することです。$h$、 いう、 $h_0$、の最小値未満 $| x_{i+1}-x_i |$ のすべての値にわたって $i$。(これは、$\mathbf{v}$ が方向ベクトルの場合、隣接するコンポーネント間の距離の最大絶対値は次のようになります。 $1$。)このように、私たちは書くことができます
$$\left |x_{i+1}-x_i + h (v_{i+1}-v_i) \right | = \left |x_{i+1}-x_i \right | + h \left |v_{i+1}-v_i \right |$$
すべてのために $0 \lt h \lt h_0$。この場合、求める方向微分は単純です。
$$D_{\mathbf{v}}f(\mathbf{x}) = \sum_{i=1}^{n-1} \left |v_{i+1}-v_i \right | $$
対照的に、の値が存在する場合 $i$ そのような $x_{i+1} = x_i$、そのようなものはありません $h_0$ 存在するため、方向微分は存在しません。