関数を探す $f$ そのような $\lim_{x\to{}0}{f(x^2)}$ 存在しますが $ \lim_{x\to{}0}{f(x)}$ではない。[複製]

Dec 28 2020

環境:

私はいくつかの分析をブラッシュアップしており、現在M. Spivakの微積分の本、特に限界に関する第5章の演習を行っています。この質問に出くわすまで、すべてが順調に進んでいました。運が悪かったので、しばらく考えていました。

質問:「例を挙げてください。$\lim_{x\to{}0}{f(x^2)}$ 存在しますが $\lim_{x\to{}0}{f(x)}$ ではない。"

私の試み:

前の質問はそれを示しました $\lim_{x\to{}0}{f(x^3)}=\lim_{x\to{}0}{f(x)}$、これは実数の3番目の根を見つけることができるのでうまくいくと私は信じています(これはイプシロン-デルタ証明で役立ちました)。これは、平方根の負の実数を二乗できないため、上記が失敗したと私に信じさせます。これにより、私は以下を含む機能を試してみることになりました$\sqrt{x}$ ネガにその「未定義」を利用します。

私はから始めました $f(x)=\sqrt{x-1}$ 明らかに未定義の制限があります $0$。しかし、これはもちろん違いはありません($0$ つまり) $f(x^2)$

ヒントはありますか?とてもシンプルなものを見落としているような気がします。

回答

6 HagenvonEitzen Dec 28 2020 at 20:49

$$\begin{align}f\colon \Bbb R\setminus\{0\}&\to \Bbb R\\x&\mapsto \frac x{|x|}\end{align}$$

1 kam Dec 28 2020 at 22:07

Hagon von Eitzenの反応を見た後ですが、私は別の例を思いつきました。

私たちは選ぶことができます $f(x)=\text{floor}(x)$