（完全に）ポジティブマップは通常の（完全に）ポジティブマップに近似されていますか？
しましょう $\mathcal{H}$ ヒルベルト空間を示し、 $B(\mathcal{H})$ 上のすべての有界作用素の代数を示します $\mathcal{H}$。の（バナッハ）双対を認識することによって$B(\mathcal{H})$ トレースクラス演算子の二重双対を使用すると、バナッハ空間理論の標準的な結果を使用して、有界線形汎関数を示すことができます。 $\phi$ オン $B(\mathcal{H})$ 弱いで近似することができます$^*$（制限された）トレースクラス演算子によるトポロジ。言い換えると、$\phi$ 上の通常の線形汎関数で近似されます $B(\mathcal{H})$。私の質問は次のとおりです。
線形汎関数の場合 $\phi$ある正、缶$\phi$弱いで正の正規線形汎関数で近似される$^*$ トポロジー？
さらに、これを完全にポジティブなマップに一般化することはできますか？ここで考慮しているトポロジーは、有界弱トポロジーです。より具体的には、$M$ はフォンノイマン代数であり、すべての完全に正のマップが可能です $\Phi:M\to B(\mathcal{H})$ 有界弱トポロジーの通常の完全に正のマップで近似されますか？
私はそれらに不慣れなので、これらのトピックに関するいくつかの参照をいただければ幸いです。ありがとうございました。
回答
また、2番目の質問への答えはyesであり、近似はポイントに収束するように選択できます-超強$^*$ トポロジー。
まず、有限ランクの直交射影のネットを選択します $p_i \in B(\mathcal{H})$ そのような $p_i \rightarrow 1$ 強く、完全にポジティブなマップ $\Phi_i : M \rightarrow B(p_i H) : \Phi_i(a) = p_i \Phi(a) p_i$ に収束する $\Phi$ ポイントで-超強$^*$トポロジー。したがって、完全にポジティブなマップを処理するだけで十分です。$\Phi : M \rightarrow M_n(\mathbb{C})$。これは[BO、Corollary1.6.3]にあります。[BO、命題1.5.14]により、$$\omega : M_n(\mathbb{C}) \otimes M \rightarrow \mathbb{C} : \omega(A) = \sum_{i,j} \Phi(A_{ij})_{ij}$$ポジティブな機能です。ネットを選ぶ$\omega_k$ の通常の正関数の $M_n(\mathbb{C}) \otimes M$ ポイントワイズに収束する $\omega$。再び[BO、命題1.5.14]によって、完全にポジティブなマップの対応するネットがあります$$\Phi_k : M \rightarrow M_n(\mathbb{C}) : (\Phi_k(a))_{ij} = \omega_k(e_{ij} \otimes a) \; .$$ 建設により、地図 $\Phi_k$ 正常であり、に収束します $\Phi$ ポイントノルムトポロジで。
[BO] NPブラウンとN.オザワ、C$^*$-代数と有限次元近似。数学の大学院研究 88。アメリカ数学会、プロビデンス、2008年。
最初の質問に対する答えは「はい」です。これは、次のより一般的な結果から得られます。
用語I：順序付けられたバナッハ空間。事前注文バナッハ空間、私はペアを意味します$(X,X_+)$ どこ $X$ 本当のバナッハ空間であり、 $X_+$ の空でない閉集合です $X$ そのような $X_+ + X_+ \subseteq X_+$ そして $\alpha X_+ \subseteq X_+$ 各スカラーに対して $\alpha \ge 0$ （言い換えると： $X_+$のいわゆるウェッジです$X$。）
デュアルウェッジの$X_+$ くさびです $$ X'_+ := \{x' \in X': \, \langle x',x \rangle \ge 0 \text{ for each } x \in X_+\}. $$ ご了承ください $(X', X'_+)$事前注文のバナッハ空間でもあります。さらに、それぞれについて$x \in X$ ハーン・バナッハの定理から次のようになります。 $x \in X_+$ 場合に限り $\langle x', x\rangle \ge 0$ それぞれについて $x' \in X'_+$。
この手順を繰り返すことにより、バイデュアルウェッジを定義することもできます $X''_+$ の $X_+$ に $X''$。
用語II：Polars Let$\langle X,Y\rangle$2つの実数ベクトル空間のデュアルペアである。言い換えると、$\langle \cdot, \cdot \rangle: X \times Y \to \mathbb{R}$ は次のような双線形写像です $X$ 分離する $Y$ そして $Y$ 分離する $X$ この地図経由。
すべてのサブセットについて $A \subseteq X$ サブセット $$ A^\circ := \{y \in Y: \, \langle x, y \rangle \le 1 \text{ for all } x \in A \} $$ の $Y$呼ばれる極性の$A$ に $Y$。同様に、各セットについて$B \subseteq Y$ サブセット $$ {}^\circ B := \{x \in X: \, \langle x, y\rangle \le 1 \text{ for all } y \in B \} $$ の $X$呼ばれる極性の$B$ に $X$。
ここで、双極定理（たとえば、HHシェーファーの著書「トポロジカルベクトル空間」（1971）の126ページの定理を参照）は次のように述べています。
定理。いわゆるバイポーラ $\left({}^\circ B \right)^\circ$ サブセットの $B \subseteq Y$ の凸包の閉鎖です $B \cup \{0\}$ 上のトポロジーに関して $Y$ によって誘発 $X$ 双対性マッピングを介して $\langle \cdot, \cdot \rangle$。
これで、この結果を事前注文されたバナッハ空間に適用できます。
バイデュアルウェッジのウェッジの密度Let$(X,X_+)$ 事前注文されたバナッハ空間であり、識別します $X_+$ のサブセットで $X''_+$ 評価によって。
定理。くさび$X_+$ 弱いです${}^*$-バイデュアルウェッジで密集 $X''_+$。
証明。デュアルペアを検討します$\langle X', X'' \rangle$通常の二重性に関して。次に、の極性が$X_+ \subseteq X''$ に $X'$ 負のデュアルウェッジに等しい $-X'_+$。同様に、の極性が$-X'_+$ に $X''$ バイデュアルウェッジに等しい $X''_+$。したがって、双極定理は次のことを意味します。$X''_+$ 弱いです${}^*$-の閉鎖 $X_+$ に $X''$。
リマーク。ウェッジを単位球と交差させても、同じことが機能すると思います。$X_+$ 単位球が弱い${}^*$-の交差点で密集 $X''_+$単位球で。詳細は確認していませんが。
OPの最初の質問への適用。スペース$B(\mathcal{H})$ 上の自己随伴作用素の空間の複素化です $\mathcal{H}$。したがって、上記の一般的な結果を適用するには、$X$自己随伴作用素に適用されたときに実数値を生成するすべてのトレースクラス演算子のセットである。その後$X'$ の自己随伴部分です $B(\mathcal{H})$、および $X''$ 上のすべての有界線形汎関数のセットです $B(\mathcal{H})$自己随伴作用素を実際の値にマッピングします。くさび$X_+$、 $X'_+$ そして $X''_+$これらのスペースの標準コーンです。その上で見たので$X_+$ 弱いです${}^*$-密集 $X''_+$、これにより、その望ましい結果が得られます。