計算方法 $S^{(2)}(E / \mathbb{Q}))$ から $S^{(\phi)} (E/ \mathbb{Q})$ そして $S^{(\hat \phi)} (E'/ \mathbb{Q})$？

Question

私はシルバーマンの本「楕円曲線の算術」第2版の例4.10（第X章から）を見ています。これは2つの同種による降下についてです（命題4.9）。例はコンピューティングについてです$E(\mathbb{Q}) / 2 E(\mathbb{Q})$ 曲線のために $$ E: y^2 = x^3 - 6x^2 +17x .$$ ある曲線 $2$-同種 $E$ です $$ E' : Y^2 = X^3 + 12X^2 - 32X .$$

私たちは通常の同種を持っています $\phi: E \to E'$ 双対アーベル多様性 $\hat \phi : E' \to E$ と $\hat \phi \circ \phi = 2$ （正確な公式は命題4.9で定義されています）。

彼はそれを計算します $S^{(\phi)} (E/ \mathbb{Q}) = \{ \pm 1, \pm 2\}$ そして $S^{(\hat \phi)} (E'/ \mathbb{Q}) = \{ 1, 17 \}.$

計算したい $2$-セルマー群 $S^{(2)}(E / \mathbb{Q})$、そして私が理解していることから、上記の2つの情報を何らかの方法で組み合わせる必要があります（組み合わせる方法と同様） $E'(\mathbb{Q}) / \phi ( E(\mathbb{Q}))$ そして $E(\mathbb{Q}) / \hat \phi (E' (\mathbb{Q}))$ 取得するため $E(\mathbb{Q}) / 2E(\mathbb{Q}))$。誰かが私がこれを行う方法を説明できますか？

PS私は一般的にこの本にかなり圧倒されていると感じます、それで私がそれをすべて間違えたならば、私に知らせてください。

Answer 1

あなたの例では、あなたが必要とする関連情報は、備考X.4.7と $$E'(\mathbb{Q}) / \phi ( E(\mathbb{Q}))=S^{(\phi)} (E/ \mathbb{Q})=\{ \pm 1, \pm 2\} \text{ and } E(\mathbb{Q}) / \hat \phi (E' (\mathbb{Q}))=S^{(\hat \phi)} (E'/ \mathbb{Q})=\{ 1, 17 \},$$ 関連するテイト゠ファレヴィッチグループは些細なことなので、「 $x$-座標」（2つのねじれ点を除く） $(0,0)$）。

したがって、X.4.7は次のように述べています。 $$ E'(\mathbb Q)[\hat \phi]/\phi(E(\mathbb Q)[2])\to E'(\mathbb Q)/\phi(E(\mathbb Q)) \to E(\mathbb Q)/2E(\mathbb Q) \to E(\mathbb Q)/\hat \phi (E'(\mathbb Q)) \to 0$$ 正確です、2番目の射は $\phi$。

さて、 $$E'(\mathbb Q)/\hat \phi(E(\mathbb Q)) =\langle\ \overline{(0,0)}\ , \ \overline{(8,-32)}\ \rangle$$ と地図 $\phi$ 送信します $(0,0)$ に $0$ （無限遠点）（これはもちろん一般的です。 $\phi$ 2同種の送信です $(0,0)$ に $0$）、送信します $(8,-32)$ 要素に $\phi(8,-32)$ではなく $2$-ねじれ（計算するためにあなたに任せました）。

そう $$S^{(2)}(E/\mathbb Q)=E(\mathbb Q)/2E(\mathbb Q) =\langle\ \overline{\phi(8,-32)}\ , \ \overline{(0,0)}\ \rangle.$$ 今、あなたはの要素のあなたが好きな説明を使うことができます $S^{(2)}(E/\mathbb Q)$。

編集：一般的なケースでは、自然な完全系列が存在します$$\to S^{(\phi)} (E/ \mathbb{Q}) \to S^{(2)}(E/\mathbb Q) \to S^{(\hat \phi)} (E'/ \mathbb{Q}) \to 0$$ でも左側に何を入れるかわかりません。

このシーケンスを理解するための1つの可能な方法は、次のことを観察することです。 $S^{(2)}(E/\mathbb Q)$ の分岐していないガロアの覆いのグループです $E$ ガロア群と」$E[2]$"（そしてどこにでもローカルにポイントがあります）、そして2-同種は $\mathbb Z/2\mathbb Z \subset E[2]$： 地図 $ S^{(2)}(E/\mathbb Q) \to S^{(\hat \phi)} (E'/ \mathbb{Q}) $ マップに対応する「 $\mathbb Z/2\mathbb Z$"、通常のガロア場の理論のように。

地図 $S^{(\phi)} (E/ \mathbb{Q}) \to S^{(2)}(E/\mathbb Q)$ 分岐していないガロアがカバーするのを見るのに対応します $\psi:D\to E'$ の $E'$ ガロア群と $\mathbb Z/2\mathbb Z$ のガロアカバーに $E$ 経由 $\phi$、すなわち $\phi\circ \psi:D\to E'\to E$。