基本的なホモトピーの質問
イヴ・フェリックス、スティーブン・ハルペリン、J.-Cの本「RationalHomotopyTheory」を読み始めています。トーマスと私は、最初のことについて簡単な質問をします（これは、空間における基本的なホモトピー理論にのみ関係し、合理的なホモトピー理論にさえ関係しません）。この本は、「ホワイトヘッドのリフティング補題」と呼ばれる結果を補題1.5（p。12）として証明しています。
（必ずしも可換ではない）図が与えられたと仮定します：\ begin {array} {ccc} A＆\ xrightarrow {\ varphi}＆Y \\ \ \ downarrow i ＆＆ \ \ downarrow f \\ X＆\ xrightarrow {\ psi}＆Z 、\ end {array}とホモトピー$H: A \times I \rightarrow Z$ から $\psi i$ に $f\varphi$。
仮定する $(X,A)$ は相対的なCW複体であり、 $f$弱同値です。その後、$\varphi$ そして $H$ それぞれマップに拡張できます $\Phi: X \rightarrow Y$ とホモトピー $K: X \times I: \rightarrow Z$ から $\psi$ に $f \Phi$。
それから本はいくつかの結果を続けます、そして私の質問は次のとおりです：次のステートメントはホワイトヘッドのリフティング補題の結果はどうですか？
場合 $(X, A)$ は相対的なCW複体であり、 $A$ CW複体のホモトピー型を持ち、 $X$ CW複体のホモトピー型を持っています。
CW複体を構築することでこの結果を証明できたと思います $\tilde{X}$ から $\tilde{A}$ （と同等の複合体 $A$）からの添付マップを使用してセルを接着することによって $(X, A)$、および各スケルトンでプッシュアウトの等価性の保存の結果（このように、共線維化を伴うプッシュアウト正方形のホモトピー同値）を使用しますが、それが上記の補題をどのように使用するかはわかりません。プッシュアウトと等価性について必要な結果です。私が思う本の後半に登場します。
どんな洞察も大歓迎です、乾杯！
回答
しましょう $A$ CW複体であり、 $X$ から得られました $A$細胞を誘導的に付着させることによって。書く$i:A\hookrightarrow X$ 含めるため。
始めましょう $p:\widetilde X\rightarrow X$CW近似である（別名セルラーモデル、Th.1.4を参照）。以来$A$ 弱同値はCW複体です $p$ 全単射を誘発する $p_*:[A,\widetilde X]\xrightarrow\cong[A,X]$（Co.1.6を参照）。したがって、地図があります$\widetilde i:A\rightarrow\widetilde X$ ホモトピーと一緒に $H:p\widetilde i\simeq i$。ここで、図\ begin {array} {ccc} A＆\ xrightarrow {\ widetilde i}＆\ widetilde X \\ \ i \ downarrow ＆＆ \ \ downarrow p \\ X＆\ xrightarrow {=}＆Xについて考えてみます。\ end {array}補題1.5の仮定が満たされているので、マップがあります$\varphi:X\rightarrow\widetilde X$ そのような $\varphi i=\widetilde i$ そして $p\varphi\simeq id_X$。したがって、$X$ CW複体の（ホモトピー）リトラクトです $\widetilde X$、そしてこれからすぐに次のようになります $X$ CWホモトピータイプです。
さて、最後の事実は述べられた一般性において真実ですが、私たちは現在の状況についてより正確な声明を確立します：私たちはそれを示します $X$ ホモトピーと同等です $\widetilde X$ 予想通り。
この通知のために $p_*:[\widetilde X,\widetilde X]\rightarrow [\widetilde X,X]$ かかります $\varphi p$ に $p(\varphi p)=(p\varphi)p\simeq p$。しかし理由は$p$ は弱同値であり、誘導されたマップは全単射であるため、方程式 $p_*(\varphi p)=p_*(id_{\widetilde X})$ ことを意味します $\varphi p\simeq id_{\widetilde X}$。したがって、私たちは主張を持っています。