均一な重力下での垂直円運動における求心力の方向
剛体のひもで中心に接続された点質量の垂直円運動を考えてみましょう。ここで均一な重力$m\vec{g}$ 使徒言行録。
下の図に状況を示しました。
ここで、のベクトル加算を行う場合 $\vec{T}$ そして $m\vec{g}$次に、奇妙な方向の求心力を取得します。それは中心に向かうことになっていますね？
さらに重力を放射状成分と接線成分に分解します。下記参照。
それで、それはどうなりますか $mg \sin \theta$成分？動きが円になるのを邪魔しませんか？
- 注：正味の力を中心に向けようとすると、意図的に張力の方向を変更する必要があります。これは、弦で囲まれたオブジェクトを検討しているため、非常に奇妙に思えます。それで、それを「自然な」（中心に向かう張力）に保つならば、私たちは本当にオブジェクトが円運動をしていると言うことができますか？
- 別の質問：私はこの状況で、 $mg \cos \theta$半径方向の力の大きさを変更する必要があるため、オブジェクトの速度を変更する必要があります。私たちはそれを局所的な円運動として考えていますか？$\vec{v}(t_1)$ ある時間に $t=t_1$、求心力 $\frac{m|\vec{v}(t_1)|^2}{r} \hat{r}$ 非常に短い時間間隔でのみ有効です $[t, t + dt]$？
- 上記の2つの質問を要約すると、オブジェクトが上部にあるか下部にあるかを考えることができます。そうすれば、力の成分はすべて同じ垂直線上にあるので、それらについて考える必要はありません。次に、それが短い時間間隔で局所的に円運動であると主張できますか？$[t, t + dt]$？
回答
円運動では、必ずしもそうとは限りません。 $F_\text{net}=mv^2/r$。これは、均一な円運動に対してのみ有効です。一般に$mv^2/r$は、円の中心を指す正味の力の成分に等しくなります。考慮すべきもう1つのコンポーネントがあります。それは、円形パスに接するコンポーネントです。
極座標での平面運動の場合、正味の力を求心力（または放射状）と接線方向の2つの成分に分割します。
$$\mathbf F_\text{net}=m\mathbf a=m\left(\ddot r-r\dot\theta^2\right)\,\hat r+m\left(r\ddot\theta+2\dot r\dot\theta\right)\,\hat\theta$$
どこ $r$ 原点からの距離です。 $\theta$は極角であり、ドットは時間変化率を表します。円運動の場合、$r$ は一定であるため、円運動の場合、ニュートンの第2法則は次のようになります。
$$\mathbf F_\text{net}=m\mathbf a=-mr\dot\theta^2\,\hat r+mr\ddot\theta\,\hat\theta$$
したがって、一定の重力場で原点を中心とする垂直円内を移動するオブジェクトについて、2つのコンポーネントを確認できます（負の値は原点に向かっていることに注意してください）。 $$F_r=-mg\cos\theta-T=-mr\dot\theta^2=-\frac{mv^2}{r}$$ $$F_\theta=mg\sin\theta=mr\ddot\theta$$
$F_r$この力の成分は常に速度に垂直であるため、速度の方向のみを変更します。$F_\theta$この力の成分は常に速度に対して平行/反平行であるため、速度の大きさのみを変更します。
正味の力の大きさは、次の式で与えられます。 $$F_\text{net}=\sqrt{F_r^2+F_\theta^2}=mr\sqrt{\dot\theta^4+\ddot\theta^2}$$
これはに減少します $mv^2/r$ 均一な円運動のために（$\ddot\theta=0$、および $\dot\theta=v/r=\text{constant}$）。
上記は、局所的な円運動のみを考慮しているというあなたの心配を軽減するはずです。これは単なる円運動です。不必要な合併症をもたらす必要はありません。
$mg\sin\theta$求心力には寄与しません。質量mに提供されるのは接線加速度です。上昇中の質量の速度の低下と下降中の増加を引き起こします。これは均一な円運動の場合ではありません。この複雑さのために、私たちは通常、このサブトピックに関連する質問を解決するために仕事エネルギー定理を使用します。また、求心力は重力と張力のベクトル加算ではなく、円の中心に向けられた力の合計です。したがって、求心力は張力+に等しい$mg\sin\theta$ これは $mv^2/R$。