機能は常に存在しますか $ f $ そのために $ Y - f ( X ) $ そして $ X $ 独立していますか?
しましょう $ X $ そして $ Y $ 実際の確率変数である。
機能は常に存在しますか $ f $ そのために $ Y - f ( X ) $ そして $ X $ 独立していますか?
私はその声明を証明しようとしましたが、それはできませんでした。
ステートメントがfalseの場合、確率変数が存在する必要があります $ X $ そして $ Y $ そのような任意の機能のために $ f $、 $ Y - f ( X ) $ そして $ X $独立していません。
しかし、私もそのような確率変数のペアを見つけることができませんでした $ X $ そして $ Y $。
アドバイスやヒントをいただければ幸いです。
回答
いいえ、しかし存在します $f(X)$ それらが無相関であるように。
2つの変数 $X$ そして $Y$ の確率分布が $Y|X$ に依存しません $X$。検討する$Y|X \sim N(0, X^{2})$、その後 $Y-f(X)|X \sim N(-f(X), X^{2})$ それはまだ依存しています $X$ 任意の機能のために $f$。
定義すると $E[f(X)]$ そのため $Cov(f(X), X) = Cov(Y,X)$、その後 $Cov(Y-f(X), X) = 0$。たとえば、$f(X) = \frac{Cov(Y,X)}{Var(X)} X$ 線形であること。
しましょう $\Omega = \{a,b,c\}$ それぞれが確率を持つ3つの結果を持つ確率空間である $1/3$。しましょう$X = 1_{\{a\}}$ そして $Y = 1_{\{b\}}$。あなたはそれをチェックすることができます$A,B$この空間での独立したイベントである場合、そのうちの1つは確率0または1である必要があります。結果として、独立した確率変数$X$一定でなければなりません。だが$Y-f(X)$ で常に異なる値を取るため、一定にすることはできません。 $b$ そして $c$。