「帰納法」の証明

Nov 02 2020

そこで、帰納法（構造的帰納法、強い帰納法、弱い帰納法など）を使ってさまざまな論理的ステートメントを証明してきました。この「帰納法」の証明があるのではないかと思いました。これまでのところ、私はこれに来ました、

誘導 $\rightarrow$ 秩序だったプリンシパル $\rightarrow$ 選択公理 $\rightarrow$ ZFC $\rightarrow$ 一階述語論理理論

だから今、私は疑問に思う、証明する方法（またはのショー等価）だけロジックおよび使用証拠のこの方法があるなしに私の推論に欠陥がある場合に着手しtheory.Also点は、

編集：構造的帰納法はいかなる種類の数に対しても帰納法を行わないようです、それは構造に影響を及ぼします。したがって、ペアノの公理を使用してそれを定式化することはできません。ZFCが必要です。しかし、ZFCは一種の一階述語論理です。したがって、構造的帰納法は、この特定の一階述語論理から生じます。しかし、いくつかあります一般的な定理私は、構造誘導.But構造的帰納法を使用して証明する必要が命題論理では（おそらくZFCに属し必ずしも行う）ことができますのみZFCの外部ではなく、内部で使用されます。混乱しています。簡単に言うと、質問の最後に示す次の一般的な定理は、集合論の範囲外です。そして私はそれを証明するために構造的帰納法が必要です。しかし、構造的帰納法は集合論の中で物事を証明することしかできません。構造的帰納法は公理的集合論の公理だからです。

これらの一般的な定理の1つの例を示します。

「仮定する$A$_$1$ $\equiv$ $A$_$2$。任意の式についてそれを示す$C$-含む $A$_$1$ パーツとして、パーツの複数のオカレンスの1つを置き換える場合 $A$_$1$ 沿って $A$_$2$ の場合、結果の式は論理的に次のようになります。 $C$。「」

回答

1 Maestro13 Nov 16 2020 at 00:47

数学的帰納法はペアノの公理の1つであり、すべての集合論において、自然数と自然数の集合のすべての定義が従わなければなりません。

集合論で自然数を定義し、これから自然数と自然数の集合を構築した後、ペアノの公理は、集合論と記号論理のみを使用して、集合論内で証明する必要があります。それはすべて起こります$\textit{within}$ 集合論、したがってそれを行うことはできません $\textit{outside}$ 集合論。

誘導スキーマの証明は、単純な集合論的議論に還元されます。もちろん、これは使用される集合論の基本によって異なる場合があります。たとえば、Quineの新基礎（NF）では、誘導スキーマは一般に保持されません-予想されるように、層化された式、またはより一般的には式にのみ適用されます$\phi$ そのために $\{x|\phi\}$ 存在します。

NFに関する私の論文を参照してください https://eprints.illc.uva.nl/574/1/X-1989-02.text.pdf 。

DanChristensen Nov 02 2020 at 23:17

数学的帰納法の原則は、何千年もの間、自然な（数えている）数について知られている事実に要約されます。

「最初の」（1または0）を除くすべての自然数は、「最初の」数から始まる繰り返しの連続プロセスによって到達できます。

より正式には、帰納はどのセットでも保持されることを示すことができます$N$ （おそらく有限）と $x_0\in N$ と機能 $S: N \to N$ そのような：

$~~~~~~N = \{ x_0,~ S(x_0), ~S(S(x_0)), ~\cdots ~\} $

自然演繹の形式を使用した私の正式な証明はここにあります。はい、それはいくつかの非常に基本的な集合論を使用しますが、任意のサブセット（ZFCの仕様に相当）の公理スキーマのみを使用します。