帰納的可算集合は、 $\mathbb{N}$？はいの場合、どの追加の飽和条件を満たしていますか？
帰納的可算集合は、のサブセットのコレクションです。 $\mathbb{N}$、その定義はよく知られており、ウィキペディアのここにあります。昨日、私はたまたまここで「一般化された位相空間」の定義に出くわしました（定義2.2.1）（以下、GTSと呼びます）。定義は広範であり、読者にリンクを確認するように依頼しますが、質問テキストのためです。トリプル$(X, Op_X, Cov_X)$、セット付き $X$、オープンセットのコレクション $Op_X\in 2^X$、および許容可能なカバー $Cov_X\in 2^{2^X}$ （この最後の1つは、GTSを通常のトポロジとは別に設定します。ユニオンは任意ではなく、に制限されます。 $Cov_X$）トリプルがA1からA8の条件を満たしている場合、GTSを形成します。
次に、トリプルかどうかを確認できます $(\mathbb{N}, RE, Cov_{RE})$ そのような空間を形成します（ $RE$ 帰納的可算集合のコレクションであり、 $Cov_{RE}$ コレクションのコレクションです $C$ の $RE$ そのような要素 $C$それ自体が帰納的可算です[1]）。そうではないことが判明しました。条件A7とA8（飽和[2]と正則性公理）は、このトリプルでは失敗します。
ここでの次のステップは、前述の失敗した状態を単に無視した場合、つまりGTSをさらに一般化した場合に何が起こるかを検討することです。GTSの定義を提示する同じテキストは、その定義がグロタンディークトポロジーに関連していることを説明していますが、ここで問題が発生しました。GTSの定義は単純な集合論的言語で説明されていましたが、グロタンディークトポロジーは、私が知る限り、圏論に深く根ざした概念であり、その言語はまだ理解できていません。それでも、ncatlabをナビゲートして、サイトの定義に到達することができます。これは、ここで定義されているカバレッジと一緒のカテゴリです。私の理解では、カバレッジはこのコンテキストで最も一般的な定義であり、カバレッジに追加の条件を課すことによってグロタンディーク（事前）トポロジを取得します（GTSがこれらすべてに正確に適合するかどうかはわかりませんが、サイトは確かにあると思いますGTSの一般化）。
私がここで尋ねる実際の質問は、複数の部分に分かれています。
- 私はサイトが何であるかについて正しいですか？つまり、サイトの定義（そしてもちろんカバレッジも）を「カテゴリ化解除」すると、条件が少ないことを除いて、GTSの定義のようなものになりますか？
- もしそうなら、トリプルは $(\mathbb{N}, RE, Cov_{RE})$サイトを形成しますか？つまり、$Cov_{RE}$ 確かに $\mathbb{N}$？たとえば、それは「プルバックの下で安定している」（それが意味するものは何でも！）ですか？
- それが当てはまる場合、どの追加の「飽和条件」（ここを参照）が行いますか$Cov_{RE}$満足させる？それが適切なグロタンディークトポロジーであるには十分ではないが、プレトポロジーにはおそらく十分であると私は想像します。
[1]-「言語のわずかな乱用は、「$C$ 帰納的可算です」（ $C\in RE$ この文だけからですが、実際には $C\in 2^{RE}$この特定のケースでは）; それに不満がある人のために、定義する同等の方法$Cov_{RE}$以下のとおりであります。まず、修正します$\phi : \mathbb{N} \rightarrow RE$、RE自体の計算可能な列挙。次に$Cov_{RE}$ です $\{C \in 2^{RE} \mid \exists S \in RE , \forall s \in RE, s \in C \leftrightarrow \exists n\in S, s = \phi(n) \}$、つまりコレクション $C$ RE要素の $Cov_{RE}$ 存在する場合 $S\in RE$ マッピングできるように $\phi$ 以上 $S$ 取得します $C$ 結果として。
[2]-ここでの「飽和公理」はGTSに固有のものであることに注意してください。この質問のさらに別の圏論関連の定義には、独自の複数の飽和条件があります。
回答
任意の半順序集合を扱っているとしましょう $(P, \leq)$。位相空間の特定のケースでは、$P$ のサブセットのコレクションです $X$、基礎となるスペース。考えることができます$P$ 次のように標準的な方法でカテゴリとして：オブジェクトのセットは $P$、それぞれの間に最大で1つの矢印があります $x, y \in P$、との間に矢印があります $x$ そして $y$ iff $x \leq y$。
オブジェクトのふるい $x$ コレクションとして定義できます $S \subseteq \{(f, z) | f : z \to x\}$ これは、すべての $(f, z) \in S$ そしてすべて $g : w \to z$、 我々は持っています $(f \circ g, w) \in S$。
半順序集合について話しているとき、の最初のコンポーネント $(f, z)$ どこ $f : z \to x$ 情報を追加しません（ $z \leq x$）最大で1つあるので $f : z \to x$。したがって、私たちは同等にふるいを考えることができます$S$ オン $x$ コレクションになる $S \subseteq \{z \in P : z \leq x\}$ すべてのst $z \in S$、 すべてのために $w \leq z$、 $w \in S$。これは私がPOふるいと呼ぶものです。
ふるいを与えられた $S$ オン $y$ と矢印 $f : x \to y$、私たちは定義するかもしれません $f^*(S) = \{(g, z)| g : z \to x$ そして $f \circ g \in S\}$、ふるい $y$。
同様に、POふるいが与えられた $S$ オン $y$ いくつかの $x \leq y$、定義する場合があります $S_x = \{z : z \leq x$ そして $z \in S\}$、ふるい $x$。
カテゴリのグロタンディーク位相幾何学 $C$ 各オブジェクトからのマッピングです $x \in C$ 家族に $F_x$ ふるいの $x$ これはいくつかの公理を満たします。
これに対応して、半順序集合のPO-グロタンディーク位相幾何学 $P$ 各要素からのマッピングである必要があります $x \in P$ 家族に $F_x$ 対応する公理を満たすPOふるいの。
グロタンディークトポロジーの公理1：すべての $x \in C$、 我々は持っています $\{(f, z) : f : z \to x\} \in F_x$。
PO-グロタンディークトポロジーの対応する公理1：すべての $x \in P$、 我々は持っています $\{z : z \leq x\} \in F_x$。
グロタンディークトポロジーの公理2：すべての $f : x \to y$、すべてのふるいに対して $S \in F_y$、 我々は持っています $f^*(S) \in F_x$。
PO-グロタンディークトポロジーの対応する公理2：すべての $x \leq y$ そしてすべてのPOふるいのために $S \in F_y$、 我々は持っています $S_x \in F_x$。
グロタンディーク位相幾何学の公理3： $S \in F_x$。そして、ふるいがあるとしましょう$P$ オン $x$ すべての人のために $(f, z) \in S$、 $f^*(P) \in F_z$。次に$P \in F_x$。
PO-グロタンディークトポロジーの対応する公理3： $S \in F_x$。そして、POふるいがあるとしましょう$P$ オン $x$ すべてのst $z \in S$、 $P_z \in F_z$。次に$P \in F_x$。
これは一般化された位相空間とどのように関連していますか？そのような一般化された空間が与えられたとしましょう。半順序セット$P$ によって順序付けられたオープンのセットです $\subseteq$。いくつかのコレクションが与えられたとしましょう$C$開集合の。定義する$f(C) = \{U $ 開いた$: \exists V \in C (U \subseteq V)\}$。そのようなすべてのために注意してください$C$、 $f(C)$POふるいです。それから与えられる$U$ 開いて、私たちは定義するかもしれません $F_U = \{f(C) : C \in cov_X$ そして $\bigcup\limits_{V \in C} V = U\}$。
これにより、PO-グロタンディークトポロジーが得られることを確認しましょう。
公理1：これは $\{U\} \in cov_X$ すべてのために $U$ -つまり、公理A3から派生します。
公理2：これは公理A5から続く。
公理3：これは公理A6から続く。
最後に、あなたの例に目を向けます $\mathbb{N}$再帰的に列挙可能なセットを「開く」と、再帰的に列挙可能なセットの再帰的な列挙を「カバーする」。これは公理A3、A5、およびA6を満たすため、PO-グロタンディークトポロジーを形成します。