交換子部分群によるSL(2、Z)の商の計算
Aug 22 2020
これまでのところ、私は行列を知っています $$S=\left( \begin{matrix} 0&-1\\ 1&0 \end{matrix} \right), \quad T=\left( \begin{matrix} 1&1\\ 0&1 \end{matrix} \right) $$ SLを生成する$(2,\mathbb{Z})$。 $S^2=(ST)^3=-I$。
私も行列を知っています $$X=\left( \begin{matrix} 1&1\\ 1&2 \end{matrix} \right), \quad Y=\left( \begin{matrix} 2&1\\ 1&1 \end{matrix} \right) $$ それらの逆で $X^{-1},Y^{-1}$ SLを生成する$(2,\mathbb{Z})'$、交換子部分群。
商に興味があります $SL(2,\mathbb{Z})/SL(2,\mathbb{Z})'$ です。
一般に、2つの行列群の商を計算するにはどうすればよいですか?GAPを使おうとしていますが、大変です!
回答
2 AnginaSeng Aug 22 2020 at 19:28
プレゼンテーションがあります $S^2=(ST)^3=-I$。あなたはのプレゼンテーションを取得します$G/G'$ すべての関係を含めることによって $ST=TS$ など。したがって、プレゼンテーションは $S^4=I$、 $S^3T^3=S^2$ そして $ST=TS$。これは、$S=T^{-3}$ そして $T^{12}=I$。したがって、$G/G'$ 順序の循環です $12$ の画像によって生成されます $T$。