このアプローチは、この関数が分析的である最大の開集合を見つけるのに正しいですか？
この質問は、複雑な分析における私の課題の一部でした。
最大のオープンセットを見つける $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{1}{1+tz} dt $ 分析的です。
私が書いた $F(t)= \displaystyle \int_{0}^{1} \frac{1}{1+tz} dt $ そしてコンピューティング $\dfrac{F(t+h)-F(t)}{h}$。その後、$F(t+h)$ 私は取得します $\mathrm{d}(t+h)$ 私が等しいと置く $\mathrm{d}t+\mathrm{d}t$。だから、私は得ています$3$ 積分。
しかし、混乱があります：の限界 $F(t)$ です $0$ に $1$ 以上 $\mathrm{d}t$ しかし、 $\mathrm{d}(t+h)$ 積分の内側で私は限界を得ています $\mathrm{d}h$ また等しい $0$ に $1$ そして、私は制限を置きます $h \rightarrow0$。
その後、計算のみが残ります。それで、私のアプローチは正しいですか？そうでない場合は、何が間違いで、何が正しいアプローチであるかを教えてください。
ありがとう！
回答
パラメトリック積分にはライプニッツの法則を使用できます。 $D\subseteq\mathbb C$ 開いている、 $f:[a,b]\times D\to\mathbb C$ 継続的であり、 $f_t(z):=f(t,z)$ 分析的です $D$ すべてのために $t\in[a,b]$、その後
$$F(z):=\int_a^b f(t,z)\mathrm dt$$
分析的です $D$。あなたの特定の例では、$f(t,z)=\frac{1}{1+tz}$、これは分析的です $\mathbb C\backslash(-\infty,-1]$ すべてのために $t\in[0,1]$、以来 $f_t$ を除いてどこでも分析的です $z=-\frac{1}{t}$。したがって、問題の積分は、私が言及したドメインで分析的であり、そのドメインの外部では定義されていないため、ドメインは分析対象の最大のドメインでもあります。