この品種は左モノイドを表していますか?

Dec 21 2020

で、この質問、私は、次のさまざまな定義されています。

しましょう $(S, \cdot, e)$ そのようなこと $(S, \cdot)$ 半群です、 $e$ 二項演算であり、恒等式を許可します $e(x, y)x \approx x$$e(x, y)\approx e(y, x)$ホールド。それらの二重左モノイド、またはdlmを満たす構造を呼びましょう。

次の場合にそれを見ることができます $(S, \cdot)$ 左のアイデンティティを持つ左のモノイドです $f$、次に設定 $e(x, y)\equiv f$ 私たちはdlmを取得します。

場合 $(S, \cdot, e)$、半群として、左モノイドではないので、右モノイドにすることはできません。明らかに、もし$f$ 正しいアイデンティティでした $e(x, f)f = f = e(x, f)$ すべてのために $x$、 など $fx = x$ すべてのために $x$、だからそれはモノイドになります。

変換後、dlmは必ず左モノイドですか? $(S, \cdot, e)\mapsto (S, \cdot)$ 操作を忘れる $e$

回答

1 J.-E.Pin Dec 22 2020 at 19:02

半群によって示されるように、答えはノーです $(\Bbb{Z}, \min)$$e(x,y) = \max(x,y)$