この二次合同を解決する方法は？ $27w^2+20w+35 \equiv 0 \pmod{23}$ [複製]

Question

与えられた $27w^2+20w+35 \equiv 0 \pmod{23}$

この二次合同を解決する方法は？すべてのヒントは大歓迎です。正方形を完成させたので、$27(x+\frac{10}{27})^2+\frac{845}{27} \equiv 0 \pmod{23} $ 正解である最小残差システムで2つのソリューションを取得する必要があります。 $w\equiv 6 \pmod{23}$ そして $w \equiv 12 \pmod{23}$

Answer 1

手動計算を容易にするために、方程式を次のように書き直します。 $$4w^2-3w+12\equiv0\bmod23$$ 先行係数で除算します。つまり、 $4^{-1}=6$： $$w^2+5w+3\equiv0\bmod23$$ 次に、2次方程式を適用します。 $$w\equiv\frac{-5\pm\sqrt{13}}2\bmod23$$ の平方根を計算する必要があります $13$ に $\mathbb Z_{23}$。 $6$ 1つのルートとして簡単に検証できるため、 $-6$ 他です： $$w\equiv\frac{-5\pm6}2\equiv9\pm3\bmod23$$

Answer 2

ヒント：

$$\pmod{23}: 4w^2-3w+12\equiv 0 \implies 8w^2-6w+1\equiv 0 \implies (2w-1)(4w-1)\equiv 0. $$

更新私が2を掛ける理由を正当化するために$4w^2-3w+12$、分数よりも整数を扱う方が簡単なので、すべての係数を整数に保ちながら平方を完成させるには、16を掛けます。

$$16(4w^2-3w+12)=64w^2-48w+192=(8w-3)^2+183\equiv (8w-3)^2-1 = (8w-2)(8w-4)=8(4w-1)(2w-1) \pmod{23}$$

そして今、あなたはその理由がわかります。

更新2：最初に2次モニックを作成するParclyTaxelの方法が好きです。

$$w^2+5w+3\equiv0\pmod{23}$$

その後、少し速く行うことができます：

$$w^2-18w+3\equiv 0 \implies (w-9)^2 = 78\equiv 9 =3^2 \implies (w-6)(w-12) \equiv 0 \pmod{23}$$

Answer 3

以来 $27 \equiv 4$ 方程式は次のように書くことができます $4w^2 + 20w + 35 \equiv 0.$ 正方形を完成させると $(2w+5)^2 + 10 \equiv 0,$ すなわち $(2w+5)^2 \equiv -10.$ だが $-10 \equiv -10+2\cdot 23=36=6^2,$ そう $2w+5\equiv\pm 6,$ すなわち $2w=-5\pm 6.$

場合 $+$： $2w=-5+6=1\equiv 1+23=24=2\cdot12$ そう $w\equiv12.$

場合 $-$： $2w=-5-6=-11\equiv -11+23=12=2\cdot6$ そう $w\equiv6.$

したがって、解決策は $w=12$ そして $w=6$。