この積分の正しい結果を得るにはどうすればよいですか？

Question

Wolfram | Alphaは、私が知る限り、この積分に正しい解決策を提供する唯一のWebサイトです。$$ f(x) = \frac{\sqrt{\sqrt{\sqrt{2 \cos \left(5 \sqrt{x}+4\right)+2}+2}+2}}{\sqrt{x}} $$ $$ F(x) = \int f(x)\, dx$$ 結果として与えられた関数を導出すると、元の関数に到達するためです。

これが解決策です： $$ F(x) = \frac{1}{5} (-8) \sqrt{2} \sqrt{\cos \left(5 \sqrt{x}+4\right)+1} \sqrt{\sqrt{2} \sqrt{\cos \left(5 \sqrt{x}+4\right)+1}+2} \left(\sqrt{\sqrt{2} \sqrt{\cos \left(5 \sqrt{x}+4\right)+1}+2}-2\right) \sqrt{\sqrt{\sqrt{2} \sqrt{\cos \left(5 \sqrt{x}+4\right)+1}+2}+2} \csc \left(5 \sqrt{x}+4\right) + C $$

ただし、このビデオでは、統合プロセスは正しいように見えますが、誤った結果が示されています。上記のように、結果の関数を導出しても、統合したい元の関数が得られないため、結果が正しくないことがわかります。

正しい結果を得る必要がありますが、方法がわかりません。

Answer 1

Ninadが指摘しているように、これは部分的な解決策であり、ビデオで使用されているプロセスと同等であり、次の場合にのみ有効です。 $$\cos\frac t2$$ 正です。

このアイデンティティから始めます：

$$\sqrt{2+2\cos t} = \sqrt{4\cos^2\frac t2} = 2\cos\frac t2$$ これを被積分関数に適用するには、最初に置換を行います $t = \sqrt x$、次にこのプロパティを連続して適用します。 $$\begin{gather} I = \int\sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + 2\cos(5t+4)}}}\cdot 2dt\\ = \int\sqrt{2 + \sqrt{2+2\cos\left(\frac{5t+4}{2}\right)}} \cdot 2 dt\\ = \int\sqrt{2 + 2\cos\left( \frac{5t+4}{4}\right)} \cdot 2dt \\ = \int 4\cos\left(\frac{5t+4}{8}\right) dt \\ = \frac{32}{5}\sin\left( \frac{5\sqrt x + 4}{8} \right) + C \end{gather}$$