このテクニックが無効である理由はありますか？
とは $ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1 - \cos x}{x}$？この制限を評価する簡単な方法は、$0$ ために $x$ を取得する分子で
$ \displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1 - 1}{x} = \lim_{x \rightarrow 0} ( \frac{1}{x} - \frac{1}{x} ) = \lim_{x \rightarrow 0} (0) = 0 $
以来 $ \frac{1}{x} - \frac{1}{x} = 0$ 同じ量から差し引かれる1つの量は0であるため、この手法は、次の事実を利用しながら、ゼロによる除算の問題を回避します。 $\cos(0)$ 知られている。
回答
いいえ、それを主張することはできません $x=0$ 分子内で $x\ne0$ 分母で！
あなたの方法を使用して、この制限を評価する簡単な方法は、置き換えることです $0$ ために $x$ 分母で取得する $$ \displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\cos x - 1}{0} =\lim_{x \rightarrow 0}\pm\infty$$ 分子がゼロ以外であるため。
反例：$$\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x} {x^2}=\frac12,\quad\enspace\text{not }0.$$ 確かに $\;1-\cos x=2\sin^2\tfrac x2$、 そう $$\frac{1-\cos x} {x^2}= \frac{2\sin^2\frac x2}{4\bigl(\frac x2\bigr)^2}=\frac12\biggl(\underbrace{\frac{\sin\frac x2}{\frac x2}}_{\underset{\textstyle 1}{\downarrow}}\biggr)^2$$
@ChristinaDaniel OK、これは反例です：式を考えてみましょう $\frac{\sin 2x}{x}$ そしてしましょう $x$ ゼロに行く：この制限に対する答えは $2$。ここで、式について考えてみましょう。$\frac{\sin 2x-0}{x}$ ために $x$ゼロになります。この制限への答えはまだです$2$。だが$\sin0=0$ これで、式を検討できます $\frac{\sin 2x-x}{x}$、再び $x$ゼロになります。しかし今、この制限は$1$。したがって、「部分的な」置換を行うと、答えが変わります。言い換えれば、あなたが代用するとき$x$、あなたはすべてのためにそれをする必要があります $x$ 式で。
しましょう $f(x) = \frac{1-\ln x}{e-x}$。見つけたい$\lim_{x\to e}f(x)$。
提案された方法を使用すると、間違った答えが返されます。
無効です。
式の一部で変数を定数に置き換えることはできませんが、別の部分では変数のままにしておくことができます。
変数を定数に置き換えて制限を見積もる場合は、どこでも置き換える必要があります。あなたがそれをするならあなたはge$\frac {1 - \cos 0}{0} = \frac 00$ そしてそれは私たちをまったく助けません。
私たちは仮定しなければなりません $x \ne 0$ 交換する場合は、次のように交換する必要があります $x = h\ne 0$ そして私達は得る $\lim_{x\to 0} \frac {1-\cos x}x \approx \frac {1-\cos h}{h}$置き換えることはできません$h$ と $0$ 下ではなく上にあるので $h$ ISN "T $0$。そして何でも$x$ 分子では、 $x$ 分母のは同じものでなければなりません。
....。
エラーの理由は、上部に少しファッジがあるということです $x\approx 0$ 手段 $\cos x \approx \cos 0$あまり影響はありません。しかし、それは間違っています。底のファッジは大きな違いを生みます。$\frac 1x \not \approx \frac 10$。それはノーノーです。
完全にノーノー。
そして完全に無効です。