コンパクトリー群の分類の改善
この質問は、（必ずしも接続されているとは限らない）コンパクトリー群の分類のフォローアップです。その質問への回答で、@ LSpiceは、コンパクトで、必ずしも接続されていないリー群であることを証明しました$G$ 形を取る $$ G = \frac{G_0 \rtimes R}{P} $$ どこ $G_0$ の単位元成分です $G$、 $R$ は有限群であり、 $P$ の有限で一般的なサブグループです $G_0$ そして $R$ それは内の中心です $G_0$ （ただし、内部の中心である必要はありません $R$）。
それにもかかわらず、半直積には多くの可能性があります。リストを絞り込むには、これらの要素を分離すると便利です。$R$ 自明ではない外部自己同型によって作用する $G_0$ 残りの部分を変更して、 $G_0$。
更新：私の元の仮説（以下）は誤りです。弱い、おそらく正しいバージョンは次のとおりです。
仮説： $R$ そして $P$ のすべての要素が $R$ （1）自明ではない外部自己同型によって作用する $G_0$ または（2）自明に行動する $G_0$。
更新2：@LSpiceは、（必ずしも接続されているとは限らない）コンパクトリー群の分類に対する更新された回答でこれを証明しました。証明の簡潔な言い換えは、以下の私の答えに示されています。
比較すると、これは誤りです。
仮説：コンパクトなリー群 $G$ 次の形式で書くことができます $$ G = \frac{(G_0 \times H) \rtimes R}{P} $$ どこ $H, R, P$ の有限群と自明でない要素です $R$ 自明でない外部自己同型によって作用する $G_0$。
反例：検討する $G = U(1) \rtimes \mathbb{Z}_4$、ここでジェネレータ $r$ の $\mathbb{Z}_4$ 「電荷共役」外部自己同型によって作用する $r^{-1} e^{i \theta} r = e^{-i \theta}$ オン $U(1)$。任意の有限拡大で$G'$ このグループの、の要素 $\pi_0(G)$ 電荷共役によって作用することは、 $G'$、 そう $G'$ 必要なものを取ることはありません $(G\times H) \rtimes \mathbb{Z}_2$ とフォーム $\mathbb{Z}_2$ に作用する $U(1)$ 電荷共役による。
回答
@LSpiceは、（必ずしも接続されているとは限らない）コンパクトリー群の分類に対する更新された回答で私の修正された推測をすでに証明していますが、別の密接に関連する証明を与えましょう。
以来 $1\to \mathrm{Inn}(G_0) \to \mathrm{Aut}(G_0) \to \mathrm{Out}(G_0) \to 1$常に分割されます。コンパクトで接続されたリー群Gの場合、Aut（G）→Out（G）は常に分割されますか？を参照してください。、サブグループを選択できます$R_0 \subseteq \mathrm{Aut}(G_0)$ の制限 $\mathrm{Aut}(G_0) \to \mathrm{Out}(G_0)$同型です。の逆像$R_0$ 地図の下 $f:G \to \mathrm{Aut}(G_0)$ 接合によって誘発されるのはサブグループです $K \subseteq G$ その交差点 $G_0$ です $Z(G_0)$。
任意の乗算 $g\in G$ 恣意的に $h \in G_0$ 関連するを乗算します $f(g) \in \mathrm{Aut}(G_0)$ 任意の内部自己同型によって $f(h) \in \mathrm{Inn}(G_0)$、変更せずに $g$の連結成分。したがって、$K$ のすべての連結成分に適合 $G$。
の結果を使用して、有限数の連結成分を持つリー群には、すべての成分を満たす有限の部分群が存在しますか？、$K$ 有限のサブグループがあります $R$ のすべてのコンポーネントを満たす $K$、したがって、それはのすべてのコンポーネントを満たしています $G$ 同様に、そして交差します $G_0$ 以内に $Z(G_0)$。設計上、$R$ どちらかが自明でない外部自己同型によって作用する $G_0$ または彼らは些細なことに行動します $G_0$。これは私の（修正された）推測を証明しています。
追加されたコメント：興味深いが誤った一般化が以下に述べられ、反証されています。
コンパクトで接続されたリー群はよく知られています$G_0$ 形を取る $$G_0 = \frac{T^k \times G_1 \times \ldots \times G_\ell}{P}$$ どこ $T^k$ を示します $k$-トーラス、 $G_1, \ldots, G_\ell$ コンパクトで、単純に接続され、単純なリー群であり、 $P$中心です。の式の商は$G$ そして $G_0$ 組み合わせることができるので、コンパクトなリー群 $G$ 次の形式を取ります。 $$ G = \frac{(T^k \times G_1 \times \ldots \times G_\ell) \rtimes R}{P} $$ ここで、前と同じように $R$ 自明ではないアウターによって行動するか、自明に行動する $T^k \times G_1 \times \ldots \times G_\ell$。ただし、これは誤りです。
反例：検討する $G=(\mathrm{SO}(2k) \rtimes \mathbb{Z}_4) / \mathbb{Z}_2$、ここでジェネレータ $r \in \mathbb{Z}_4$ パリティによって作用します $\mathrm{SO}(2k)$ そして $r^2 = -1 \in SO(2k)$。さあ、$G’=(\mathrm{Spin}(2k) \rtimes R)/P$ のカバーになる $G$ その連結成分は $G_0'=\mathrm{Spin}(2k)$。いくつかの要素があります$r'$ の $R$ それは $r$、したがって $r’$ に作用する $\mathrm{Spin}(2k)$パリティによる。場合$k$ 奇妙な場合、 $Z(G_0') = \mathbb{Z}_4$、および $(r’)^2$ 次数4の2つの要素のいずれかである必要があります $Z(G_0')$ に投影する $(r)^2 = -1$。ただし、パリティはこれら2つの要素を交換するため、次のようになります。$(r’)^{-1} (r’)^2 r’ \ne (r’)^2$、これは矛盾です。偶数の場合$k$ 非常に似ています。