Kontsevich量子化における演算子トレース
量子化では、位相空間上の関数からヒルベルト空間に作用する演算子へのマップを研究します。そのようなマップの1つを修正して、それを呼び出しましょう$Q$。
変形量子化は、 $Q$ 関数の線形ベクトル空間に非可換星積を位相空間に与えることにより、間接的に研究することができます。
$$ f \star g = Q^{-1} \left( Q(f) \,Q(g) \right). $$
Kontsevichは、任意のコンパクトな位相空間に適用できる星の積の明示的な公式を提供し、結合多元環を適切な動作で提供します。$\hbar \rightarrow 0$制限。したがって、コンツェビッチの公式は、コンパクトなシンプレクティック多様体が量子化を許可することを証明するという長年の問題を解決するとよく言われます。
しかし、量子力学の他の重要な要素は、オペレーターの痕跡です。トレースは、物理的な予測を行うために不可欠です。つまり、オブザーバブルの期待値は、対応する演算子のトレースに密度行列を掛けたものです。
コンツェビッチの公式は私に量子化マップを与えず、星の積だけを与えます。では、どのように計算しますか$\text{tr} Q(f)$ 知るだけで $f$？
私が見る一つの可能な答えは、古典的な公式が成り立つということです： $$ \text{tr} Q(f) = \int \omega^{\wedge n} f. $$
ここに $\omega^{\wedge n} = \omega \wedge \omega \wedge \dots \wedge \omega$ シンプレクティック形式に関連付けられたボリューム形式です $\omega$、および積分は位相空間上にあります。
しかし、実際にこの位相空間積分が変形量子化の演算子トレースの対応物であると誰もが明確に言うのを聞いたことがありません。それを示すための良い議論を思い付くことができません。 $\mathcal{O}(\hbar)$ 修正は表示されません。
私の質問は次のとおりです。
- 行う $\mathcal{O}(\hbar)$ 位相空間積分の補正は一般的に現れますか？
- もしそうなら、トレースの明示的な式はありますか？
- そうでない場合、どうすればそれを自分に納得させることができますか？
回答
ウィキペディアには、トレース操作（最大スカラー倍数）を一意に決定するための次のプロパティが記載されています。
- $\mathrm{tr}(cA) = c\mathrm{tr}(A)$
- $\mathrm{tr}(A + B) = \mathrm{tr}(A) + \mathrm{tr}(B)$
- $\mathrm{tr}(AB) = \mathrm{tr}(BA)$
線形の場合 $Q$、 $\mathrm{tr} Q(f)$ 3つのプロパティすべてを満たします。 $\int f d\Omega $（1）と（2）を明確に満たしています。（3）については、それを示したい$\int f \star g d\Omega = \int g \star f d\Omega $。それを示すのは簡単です$O(1)$ そして $O(\hbar)$ 用語は十分に良いために消えます $f,g$（部分積分と混合偏微分の等価性を使用）。しかし、私はコンツェビッチのグラフを十分に理解していないため、この議論を自信を持って高次に拡張することができます。$\hbar$。参考資料や説明があれば教えてください。議論が拡張すると仮定すると、$\mathrm{tr} Q(f)$ そして $\int f d\Omega $ スカラー倍までは同等です。
期待値はによって与えられます $\mathrm{tr}(Q(f)\rho)$、したがって、トレース操作を正規化することを選択できます。 $$\mathrm{tr}(\rho) = \int Q^{-1}(\rho)d\Omega = 1$$これは、すべての物理を一意に決定するのに十分なはずです。あなたはで定義することができます$O(\hbar)$ 元の積分式の項ですが、密度行列を正規化すると、物理的な効果はありません。