区別することは可能ですか $\sin x$ に関して $\cos x$ 第一原理から？

Question

私は今日、大学入試の練習問題をやっていて、そこで差別化を求められました $\sin x$ に関して $\cos x$。私が見つけた解決策は連鎖律を使用しました：

\begin{align} \frac{d\sin x}{d\cos x}&=\frac{d\sin x}{dx}\cdot\frac{dx}{d\cos x} \\ &=\cos x\cdot\frac{1}{-\sin x} \\ &=-\cot x \end{align}

しかし、この問題について考えれば考えるほど、少し違和感を覚えました。可能であれば、ある関数を別の関数と区別することの意味がよくわかりません。だから私は区別しようとしました$\sin x$ に関して $\cos x$ 第一原理から、私は自分が何を扱っているのかを知っていました。

$$ \frac{d\sin x}{d\cos x}=\lim_{h \to 0}\frac{\sin (\cos x+h)-\sin(\cos x)}{h} $$

この背後にある考えは扱うことでした $\cos x$他の変数と同じように。しかし、これは私に間違った答えを与えました$(\cos \circ \cos)(x)$、理由がわかりません。ある機能を別の機能と区別することの意味について、直感的な考え方はありますか？

Answer 1

の変化を測定したい $\sin{x}$ の変化に関して $\cos{x}$。あなたが望んでいるのは$\sin{x}$ の関数として $\cos{x}$、これはと同じものではありません $\sin(\cos{x})$。そこにあなたの根本的な問題があります。

あなたが欲しいもの：もし $x \in [0, \pi]$、その後 $\sin{x} = \sqrt{1 - \cos^2{x}}$、 など \begin{align*} \frac{d(\sin{x})}{d(\cos{x})} &= \lim_{h\to 0} \frac{\sqrt{1 - (\cos{x} + h)^2} - \sqrt{1 - \cos^2{x}}}{h} \\ &= \lim_{h\to 0} \frac{[1 - (\cos{x} + h)^2] - (1 - \cos^2{x})}{h(\sqrt{1 - (\cos x + h)^2} + \sqrt{1 - \cos^2{x}})} \\ &= \lim_{h\to 0} \frac{-h(h + 2\cos{x})}{h(\sqrt{1 - (\cos x + h)^2} + \sqrt{1 - \cos^2{x}})} \\ &= \frac{-2\cos{x}}{2\sqrt{1 - \cos^2{x}}} = -\frac{\cos{x}}{\sin{x}} = -\cot{x} \end{align*} 望んだ通りに。

演習：いつ何が起こるか $x \in [\pi, 2\pi]$？

Answer 2

セットする $y=\cos x$、その後、 $x\in[0,\pi]$、 $$ \frac{d\sin x}{d\cos x}=\left.\frac{d\sin(\arccos y)}{dy}\right|_{y=\cos x}=-\left.\frac{y}{\sqrt{1-y^2}}\right|_{y=\cos x}=-\frac{\cos x}{\sin x}=-\cot x, $$ 制限については、 $$ \lim_{h\to0}\frac{\sin(\arccos(y+h)-\sin(\arccos(y))}{h}=\\ \lim_{h\to0}\frac{\sin(\arccos(\cos x+h)-\sin x}{h}. $$