組み合わせ論の問題-選択 $6$ からのカード $32$-正確に3つの異なるスーツがあるようにカードデッキ（包含-除外）
のデッキがあるとしましょう $32$ とカード $8$4つのスーツのそれぞれのカード。選択したカードの中にちょうど3つの異なるスーツのカードがあるように、どのようにして6枚のカードを選択できますか？
包除原理はそれを解決する方法だと思います。最初に選択する方法の総数を数えます。 $6$ からのカード $32$ （これは $\binom{32}{6}$）、次に、スーツの2つだけが欠落している組み合わせの数を除外します（ $\binom{4}{2}\binom{16}{6}$）次に、包除原理により、3つのスーツすべてが欠落している組み合わせを追加します（これは $\binom{4}{3}\binom{8}{6}$）。すべての組み合わせの数$4$ もちろん、不足しているスーツはゼロです。
私の質問は-私の論理はどこに間違っているのですか？私はそれが正しいことを知っていますが、エラーを見つけることができないようです。
回答
ちょうど1つのスートで無効になっている手を数える方が良いです。
やってみたら $\binom{24}6 - \binom4 2 \binom{16}6 + \binom4 3\binom8 6$、少なくとも1つのボイドスーツでボイドのハンドの数を取得します。これは、乗算ボイドスーツのオーバーカウントのみを減算しているためです。一方、ボイドスーツが1つだけの数を取得するには、乗算のカウント全体を減算する必要があります。無効なもの
この数は、たとえば、無効になっているハンドの数の4倍です。$\;$$\ spadesuit $は、$ 3 $の方法で組み合わせて、$ 2 $のスーツでハンドボイドを形成し、$ 3 $のスーツで$ \ spadesuit $と組み合わせて$ 3 $の方法を追加することにより、オーバーカウントを排除します。私たちに与えるために$ 4 [\ binom {24} 6から3 \ binom {16} 6 +3 \ binom8 6] $
ここには2つの問題があります。1つ目は、標準の包除原理では、少なくとも1つが欠落しているイベントを減算することから開始することを前提としているため、2つが欠落しているものはすべて、2回カウントされ、3つが欠落しているものは3回カウントされます。つまり、あなただけが意味します。一度加算または減算する必要があり、それを交互に行います。
ここでは、2つ欠けているものを差し引くことから始めます。これは、3つのスーツが3回欠落しているすべてを減算したことを意味します（3つのスーツから3つの方法でペアを選択できます）。したがって、3つのスーツが欠落している方法の2倍の数を追加する必要があります。（可能性のある状況である場合、4つが欠落している方法の数の3倍を減算する必要があります。これまで、これらの構成を6回減算し、8回加算していました。）
2番目の問題は、4つのスーツすべてが存在するすべての状況を説明していないことです。したがって、前の段落から変更を加えた後、計算したのは、選択したカードの中で少なくとも3つのスーツを持つ方法の数です。