組み合わせ論の問題と確率の解釈

Question

ガウスベクトル変数の場合 $w\sim N(0,I_{n\times n})$、正方形のノルムの瞬間は $\mathbb{E} \|w\|^{2 r} = \prod_{t=0}^{r-1} (n + 2 t)$。

Isserlisの定理に基づいて、$\mathbb{E} \|w\|^{2 r}$ 次のように評価することもできます $$\sum_{\pi\in \mathcal{P}([r]), |\pi|\leq n}\frac{n!}{(n-|\pi|)!}\prod_{p\in\pi}(2 |p|-1)!!$$ どこ $\mathcal{P}([r])$ セット上のすべてのパーティションを意味します $[r]=\{1,\dots,r\}$、 $\pi$ パーティションです、 $p$ パーティション内の1つのブロックです。 $|\pi|$ そして $|p|$ ブロックの数とブロック内の要素の数です。

ここで、上記の問題の変形を考えてみましょう。 $$\sum_{\pi\in \mathcal{P}([r]), |\pi|\leq n}\frac{n!}{(n-|\pi|)!}\prod_{p\in\pi}\frac{1}{2}~(2 |p|-1)!!$$ 上記の式は、係数を持つガウスベクトル変数の二乗ノルムのモーメントとのみ異なります。 $\frac{1}{2}$。上記の式について、同様の有限積の解と確率の解釈はありますか？

Answer 1

修正 $n$。しましょう$$ G(x) = \sum_{i=0}^n \frac{n!}{(n-i)!}\frac{x^i}{i!} = (1+x)^n. $$ しましょう $$ F(x) = \sum_{j\geq 1}\frac 12 (2j-1)!!\frac{x^j}{j!} = \frac{1}{2\sqrt{1-2x}}-\frac 12. $$組成式（の定理5.1.4により数え上げ組み合わせ論、第2巻）、あなたがしたい番号です$r!$ の係数の倍 $x^r$ に $$ G(F(x)) = \frac{1}{2^n}\left( 1+\frac{1}{\sqrt{1-2x}}\right)^n. $$ これを二項定理で展開してから、各項をべき級数に展開して、次の合計として数値の式を取得できます。 $n$ 条項。