境界値を持つ微分不等式

Question

しましょう $f:[0,1] \to \mathbb{R}$ 2回微分可能関数である $(0,1)$ そのような $f(0)=f(1)=0$ そして $f''+2f'+f \ge 0$

次に、次の値のどれがによって達成できないか $f$ ？

$(a)\quad \pi$

$(b) \quad e$

$(c) \quad e^{\pi}$

$(d) \quad {\pi}^e$

私の最初の考えは、ゼロで平等を取ることでした。

次に $f(x)=(a+bx)e^{-x}$ whefe $a,b$ 任意の定数です

境界値を使用すると、次のようになります。 $a=0=b$ そう $f=0$。したがって、結論はありません

再び微分方程式を取る

$f''+2f'+f=e^{\pi x}$

一般的な解決策は次のとおりです。

$f(x)=(a+bx)e^{-x}+\frac{e^{\pi x } }{(\pi+1)^2}$

境界値付き

$a=-\frac 1{(\pi+1)^2}$ そして $b=\frac{e^{\pi+1}}{(\pi+1)^2}+ \frac 1{(\pi+1)^2} $

しかし、これから何を結論付けるのでしょうか？

私はこの種の問題に慣れていないので、完全に混乱しています。

この質問を解決するのを手伝ってください。御時間ありがとうございます。

Answer 1

検討する $g(x)=e^xf(x)$。次に$g(0)=g(1)=0$ そして $g''(x)=e^x(f''(x)+2f'(x)+f(x))\ge 0$。この意味は$g$は凸関数です。ここで、凸関数に対して割線がどのようにあるかを思い出して、次のように結論付けます。$g(x)\le 0$ したがって、 $f(x)\le 0$ にとって $x\in[0,1]$。