曲率方程式が与えられた場合、どのようにして適合するパラメトリック方程式のファミリーを見つけるのでしょうか。

Question

与えられた曲率のパラメトリック方程式を見つける特別な場合について、ここでいくつかの質問と回答を見てきました。例えば; 与えられた曲率を持つ曲線のパラメトリック方程式を見つけます。しかし、私は一般的なプロセスを理解していないのではないかと思います。誰かが私にプロセスを案内してもらえますか？

次の形式のパラメトリック方程式が気になります

$$\gamma(s)=(x(s),y(s))$$

したがって、曲率に署名しました

$$\kappa=\frac{x'y''-y'x''}{(x'^2+y'^2)^\frac{3}{2}}$$

私の質問は

与えられた方程式 $\kappa(s)$、ソリューションのファミリーをどのように見つけますか $\gamma(s)$？

私は満足するユニークな曲線があると思います $\kappa(s)$、最終的な解には3つの定数がありますが、 $x_0$、 $y_0$、および $\theta$、これは、そのような曲線の任意の平行移動と回転（またはいくつかの同等物）をエンコードします。これは、直感的に、曲率は曲線全体の平行移動または回転を考慮しないためです。

最後に、私は単に楽観的すぎる学部生なので、学術的には1階微分方程式しか扱っておらず、独学の曲率しかありません。とにかく、私はそれぞれを概念的に理解しています。そのため、おおまかに私の理解度でお答えいただければ幸いです。

Answer 1

任意の回転と平行移動だけでなく、曲線の反射とパラメータ化もあります。したがって、まず、曲率の定義が次のようになる標準の弧長パラメータを使用します。$$\mathbf{t}'(s)=\kappa(s)\mathbf{n}(s)$$ どこ $\mathbf{t}(s)=(x'(s),y'(s))$ は接線ベクトルであり、 $\mathbf{n}(s)=(-y'(s),x'(s))$'通常のベクトルです。後者は記号までしか定義されていないため、いずれかを任意に選択する必要があります。これにより、カーブの利き手、つまり反射が修正されます。

したがって、解くべき微分方程式は $$\begin{pmatrix}x''(s)\cr y''(s)\end{pmatrix}=\kappa(s)\begin{pmatrix}-y'(s)\cr x'(s))\end{pmatrix}$$ 二次方程式として、これは4つの積分定数を与えるはずですが、弧長の制約があります $(x')^2+(y')^2=1$、したがって、実際には3つの定数のみが残ります。2つは平行移動用、もう1つは回転用です。

Answer 2

「私は一次微分方程式しか学術的に扱っていない」と述べたので、私自身の質問に対するこの答えは欠陥で溢れているかもしれませんが、これは私が探していた一般的な形式です。洞察力を与えてくれたChrystomathに感謝します。

場合 $(x')^2+(y')^2=1$、その後

$$\kappa=x'y''-y'x''$$

また、 $(x')^2+(y')^2=1\implies y''=-\frac{x'x''}{y'}$

$$\implies -\kappa y'=x''\implies\kappa^2(y')^2=(x'')^2\implies\kappa^2(1-(x')^2)=(x'')^2$$

しましょう $u=x'$

$$\implies \kappa^2(1-(x')^2)=(x'')^2=\kappa^2(1-u^2)=(u')^2\implies\kappa\sqrt{1-u^2}=\pm u'$$ $$\kappa\sqrt{1-u^2}=\pm \frac{du}{dt}\implies\pm\kappa dt=\frac{du}{\sqrt{1-u^2}}$$ $$\implies\pm\int\kappa=\sin^{-1}(u)+c_1$$ $$\implies c_1\pm\int\kappa=\sin^{-1}(u)\implies u=\sin(c_1\pm\scriptsize\int\normalsize\kappa)$$ $$\implies x'=\sin(c_1\pm\scriptsize\int\normalsize\kappa)$$ $$\therefore x=\int\sin(c_1\pm\scriptsize\int\normalsize\kappa)dt$$

同様のロジックで、次のようになります

$$y=\int\cos(c_1\pm\scriptsize\int\normalsize\kappa)dt$$

したがって、パラメトリック方程式を見つけることができます（通常はスワッピング $\sin$ そして $\cos$） することが

$$\gamma(s)=\begin{pmatrix} x_0+\int_0^s\cos(\theta\pm\scriptsize\int\normalsize\kappa)dt \cr y_0+\int_0^s\sin(\theta\pm\scriptsize\int\normalsize\kappa)dt\end{pmatrix}$$

Chrystomathによって予言されているように、見よ、3つの定数（2つは平行移動用、1つは回転用）と反射（によって示される） $\pm$）！