間の線形自己準同型 $V$ とデュアル $V$

Question

しましょう $V$ 体上の有限次元ベクトル空間である $K$。 $V^*=\{l:V\to K\}$。

証明する $\operatorname{End}(V)$ 線形同型 $\operatorname{End}(V^*)$。

私の試み：有限次元ベクトル空間のためから $\dim V^*=\dim V$

したがって、それらは次のように線形同型です。 $\psi:V\to V^*$。

だから与えられた要素 $T\in \operatorname{End}(V)$ 私たちは見つけることができます $\hat{T} = \psi T\psi^{-1}$ 線形自己準同型であることを確認するのは簡単です。

そして、マップは、 $\hat{T}$ 構築できます $T=\psi^{-1}\hat{T}\psi \in \operatorname{End}(V)$。それ以来、単射です$\hat{T} = 0$ 意味する $T = 0$ はゼロマップなので、簡単なカーネルがあります。

最後に表示する必要があります $\phi:\operatorname{End}(V) \to \operatorname{End}(V^*)$線形でもあります。すなわち$\phi(T+S) = \phi(T)+\phi(S)$ の定義による $\hat{T}$ それは成り立つ。

私の証明は正しいですか？

Answer 1

あなたの証明は正しいです。ただし、間に別のベクトル空間同型があります$\operatorname{End}(V)$ そして $\operatorname{End}(V^*)$ 同型を必要としない $V \rightarrow V^*$。つまり、地図$A \in \operatorname{End}(V)$ に $A^* \in \operatorname{End}(V^*)$ 定義することによって $(A^*\phi)(x) = \phi(Ax)$。ここに、$ x\in V$ そして $\phi \in V^*$。

Answer 2

マップしたい $T\colon V\to V$ 線形写像へ $V^*\to V^*$ そしてそれを行うための明白な方法があります、すなわちマップする $T$ その転置に $T^*$。ただし、これは反同型を定義します。$(T_1T_2)^*=T_2^*T_1^*$。

それを使用すると同型写像が得られます $\dim V=n$、あなたは得る $V\cong M_n(K)$ （のリング $n\times n$行列）基底の選択を介して。同型の推移性が終了します。