負の領域での対数の展開

Question

いくつかの機能を拡張しようとしています $f(z,\bar{z})$ の対数を含む $z = x + i k x$ と $x<0$、ただし、結果は常に一貫しているとは限りません。簡単な例として、次のコードについて考えてみます。

Log[16*z*zb] /. {z -> x + 4 I*x, zb -> x - 4 I*x};
Assuming[x < 0, Series[%, {x, 0, 0}]] // Normal
Log[16*z*zb] /. {z -> x + 5 I*x, zb -> x - 5 I*x};
Assuming[x < 0, Series[%, {x, 0, 0}]] // Normal
Log[16*z*zb] /. {z -> x + 6 I*x, zb -> x - 6 I*x};
Assuming[x < 0, Series[%, {x, 0, 0}]] // Normal
Log[16*z*zb] /. {z -> x + 7 I*x, zb -> x - 7 I*x};
Assuming[x < 0, Series[%, {x, 0, 0}]] // Normal
Log[16*z*zb] /. {z -> x + 8 I*x, zb -> x - 8 I*x};
Assuming[x < 0, Series[%, {x, 0, 0}]] // Normal
Log[16*z*zb] /. {z -> x + 9 I*x, zb -> x - 9 I*x};
Assuming[x < 0, Series[%, {x, 0, 0}]] // Normal

出力は次のとおりです。

4 Log[2] + Log[17] + 2 Log[-x]
5 Log[2] + Log[13] + 2 Log[-x]
4 Log[2] + Log[37] + 2 Log[-x]
Log[800 x^2]
Log[1040 x^2]
5 Log[2] + Log[41] + 2 Log[-x]

拡張が異なるように見えるのはなぜですか $k=7,8$？私はそれらの拡張が他のものと同じ形を持つ必要があります。私は同じ行動を観察します$k=12,13$でも理由がわかりません。何か案が？

Answer 1

あなたが何を達成しようとしているのかは明確ではありません。任意の結果は次のとおりnです。

Clear["Global`*"]

f[n_] = Assuming[x < 0,
  (Series[
      Log[16*z*zb] /. {z -> x + n I*x, zb -> x - n I*x},
      {x, 0, 0}] // Normal) // FullSimplify]

(* Log[16 (1 + n^2) x^2] *)

それを拡張したい場合

(f /@ Range[4, 13] // PowerExpand) /. x -> -x

(* {4 Log[2] + Log[17] + 2 Log[-x], 5 Log[2] + Log[13] + 2 Log[-x], 
 4 Log[2] + Log[37] + 2 Log[-x], 5 Log[2] + 2 Log[5] + 2 Log[-x], 
 4 Log[2] + Log[5] + Log[13] + 2 Log[-x], 5 Log[2] + Log[41] + 2 Log[-x], 
 4 Log[2] + Log[101] + 2 Log[-x], 5 Log[2] + Log[61] + 2 Log[-x], 
 4 Log[2] + Log[5] + Log[29] + 2 Log[-x], 
 5 Log[2] + Log[5] + Log[17] + 2 Log[-x]} *)

検証、

Assuming[x < 0, % == (f /@ Range[4, 13]) // FullSimplify]

(* True *)

Answer 2

私はちょうど解決策を見つけました。対数は、を使用PowerExpandして展開できますAssumptions->x<0。その後、通常どおり拡張を実行でき、結果は希望どおりになります。