マクスウェルの方程式が過剰決定されないのはなぜですか？[複製]
ここでウィキペディアに記載されている表の4つの微分方程式を検討し、どの時点でも電荷分布がなく、したがって電流もないと仮定します。電荷がない場合、4つの方程式は次のようになります。
$\nabla\cdot E = 0$
$\nabla\cdot B = 0$
$\frac{\partial B}{\partial t} = -\nabla\times E$
$\frac{\partial E}{\partial t} = c^2\nabla\times B$
最後の2つの方程式は、磁場と電場の両方が時間の経過とともにどのように変化するかを示しています。したがって、初期の磁場と電場があれば、両方の磁場の将来の状態を判断できるはずです。これにより、最初の2つの方程式が冗長に見えるため、システムが過剰決定されているように見えます。しかし、明らかに必要なので、何かが足りないに違いありません。最初の2つの方程式は単なる初期条件ですか？
回答
最初の2つのマクスウェル方程式は、静電界と静磁界を表します。これらの方程式から、このようなフィールドの幾何学的特性と、これらのフィールドが生成する力線の性質を学習します。最初のもの（料金が存在する場合）
$$\nabla \cdot \vec E = \rho$$
あらゆる種類の電荷分布の電界の形を決定することにつながります。これは、静電気の研究にとって非常に重要です。さらに、この方程式を使用して、ポアソン方程式を導出できます。
$$\nabla^2 V = -\rho$$
これにより、静電ポテンシャルを決定できます $V$さまざまな電荷分布用。上記のマクスウェル方程式を使用してクーロンの法則を導出することもできます（ただし、この法則は必ずしもこの方程式の直接の結果であるとは限りません）。ポアソン方程式は、静電気の研究においても非常に強力なツールです。この方程式は、半導体物理学にも強力な用途があります。
あなたが言及する2番目の方程式、
$$\nabla \cdot \vec B = 0$$
磁気単極子が存在しないという非常に重要なことを教えてくれます。この方程式の数学的意味は、磁気ベクトルポテンシャルが存在しなければならないということです。$\vec A$ どこ
$$\vec B = \nabla \times \vec A$$
これは強力な数学的結果です。この磁気ベクトルポテンシャルは、古典電磁気学と量子電磁力学に遍在しています。