マルコフ連鎖-エルゴード定理
次の問題の遷移行列についてサポートが必要です
毎晩、車の所有者は確率0.6で洗車します。そのイベントとは関係なく、毎晩、確率0.2で汚れた雨が車に降り注いでいます。（質問はエルゴード定理を使用します）
長期的には、朝のどの部分で車がきれいですか？
私の状態1は「車がきれい」を表し、状態2は「車が汚れている」を表します
遷移行列が正しいかどうかわかりません
回答
有限個の状態を持つエルゴードマルコフ連鎖の分布を制限します。
最初に確認することは、このマトリックスが $\mathbf{P}$ は、行の合計が次の確率行列です。 $1,$ それは本当です。
遷移行列にはすべて正の要素があるため、相互通信状態の単一クラスを持つ（非周期的）エルゴードマルコフ連鎖を記述します。[エルゴード性を確保するには、ある程度の力で十分です$\mathbf{P}^k$ の $\mathbf{P}$すべての肯定的な要素を持つこと。ここでそれが起こります$k = 1.$]
したがって、チェーンには定常分布があります $\sigma = (\sigma_1,\sigma_2),$ そのような $\sigma\mathbf{P} = \sigma.$ 2つの未知数で2つの方程式を解くと、 $\sigma_1 = .75, \sigma_2 = 0.25.$ 特に、 $\sigma_1 = p_{12}/(p_{12}+p_{21}) = 0.6/0.8 = 0.75.$ [直感的な議論については、最後の注を参照してください。]
また、ベクトル $\sigma$ 車がきれいになるように、チェーンの制限分布です $75\%$ 朝の。
見つける $\mathbf{P}^8$ 両方の行がほぼであるため、この制限分布を示唆しています $\sigma.$ [Rでの行列乗算。]
P = matrix(c(.8,.2, .6,.4), byrow=T, nrow=2); P
P2 = P %*% P; P2
[,1] [,2]
[1,] 0.8 0.2
[2,] 0.6 0.4
P2 = P %*% P; P2
[,1] [,2]
[1,] 0.76 0.24
[2,] 0.72 0.28
P4 = P2 %*% P2; P4
[,1] [,2]
[1,] 0.7504 0.2496
[2,] 0.7488 0.2512
P8 = P4 %*% P4; P8
[,1] [,2]
[1,] 0.7500006 0.2499994
[2,] 0.7499981 0.2500019
3つ以上の状態を持つエルゴードチェーンの場合、固有ベクトルを使用して定常分布を見つけると便利な場合があります。 $\sigma.$私たちは、左固有ベクトルをしたいと我々は転置使うので、Rは、右固有ベクトルを見つけるt(P)のをP。[最初に与えられた]最大のモジュラスを持つ固有ベクトルはに比例します$\sigma.$[as.numeric未使用の固有ベクトルが複雑な場合に、余分な複素数表記を抑制するために使用します。]
v = eigen(t(P))$vectors[,1]
sg = as.numeric(v/sum(v)); sg
[1] 0.75 0.25
注：これは、車がきれいである確率（時間の割合）の直感的なビューです。車が汚れた状態で始まったとします。次に、幾何分布の引数により、洗浄されるまで平均$ 1 / 0.6 = 10/6 $日待機します。その後、泥だらけのレインバスを取得する前に、平均$ 1 / .2 = 5 $日待機します。したがって、ダーティバックからダーティまでの「サイクル長」は、平均で$ 10/6 + 5 $日です。この期間のうち、$ 10/6 + 10/2 = 40/6 $日のうち$ 5 $がクリーンになります。したがって、平均して、クリーンです$ \ frac {1 / p_ {21}} {1 / p_ {11} + 1 / p_ {21}} = \ frac {p_ {12}} {p_ {21} + p_ {12}} = \ frac {5} {40/6} = \ frac {3} {4} $の時間。[この種の議論は、2状態チェーンではうまく機能することがよくありますが、状態間で考慮すべきサイクルが非常に多いため、状態が多いチェーンではうまく機能しません。]